数学必修五教案
§1.解三角形
1.正弦定理
(1)一: =2R;
二: ; ; ;(角到边的转换)
三: , , ;(边到角的转换)
四: ;(求三角形的面积)
(2)解决两类问题: 1)、已知两角和任一边,求两边和一角;(唯一解)
2)、已知两边和一边的对角,求另一边的对角(从而求出的边和角)。
(3)若给出 那么解的个数为:若 ,则无解;若 ,则一解;
若 ,则两解;
2.余弦定理:txjy
(1)一: , ,
二: , , ,(角到边的转换)
(2)解决两类问题: 1)、已知三边,求三个角;(唯一解)
2)、已知两边和它们得夹角,求边和两个角;(唯一解)
【精典范例】
【例1】下列条件判断三角形ABC的形状:
(1)若a2tanB=b2tanA;
(2)b2sin2C + c2sin2B=2bccosBcosC;
解(1)由已知及正弦定理
(2RsinA)2 = (2RsinB)2 2sinAcosA=2sinBcosB sin2A=sin2B
2cos(A + B)sin(A – B)=0
∴ A + B=90o 或 A – B=0△ABC是等腰三角形或直角三角形.
(2)由正弦定理得
sin2Bsin2C=sinBsinCcosBcosC ∵ sinBsinC≠0, ∴ sinBsinC=cosBcosC,
即 cos(B + C)=0, ∴ B + C=90o, A=90o,故△ABC是直角三角形.
【例2】3.△ABC中已知∠A=30°cosB=2sinB-
①求证:△ABC是等腰三角形
②设D是△ABC外接圆直径BE与AC的交点,且AB=2 求: 的值
【例3】在ΔABC中,角A、B、C所对的边分别为 、b、c,且 .
(Ⅰ)求 的值;
(Ⅱ)若 ,求bc的最大值.
【解】(Ⅰ) =
= = =
(Ⅱ) ∵ ∴ ,
又∵ ∴ 且仅当 b=c= 时,bc= ,故bc的最大值是 .
【追踪训练】
1、在△ABC中,a=10,B=60°,C=45°,则c等于 ( )
A. B. C. D.
2、在△ABC中,a= ,b= ,B=45°,则A等于()
A.30° B.60° C.60°或120°D. 30°或150°
3、在△ABC中,a=12,b=13,C=60°,此三角形的解的情况是( )
A.无解B.一解C.二解D.
4、在△ABC中,已知 ,则角A为()
A. B. C. D. 或
5、在△ABC中,若 ,则△ABC的形状是()
A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形
6、在△ABC中,已知 ,那么△ABC是 ()
A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.正三角形
7、在△ABC中,周长为7.5cm,且sinA:sinB:sinC=4:5:6,下列结论:
① ②
③ ④
成立的个数是 ( )
A.0个B.1个C.2个D.3个
8、在△ABC中, , ,∠A=30°,则△ABC面积为 ( )
A. B. C. 或 D. 或
9、已知△ABC的面积为 ,且 ,则∠A等于 ( )
A.30°B.30°或150°C.60°D.60°或120°
10、已知△ABC的三边长 ,则△ABC的面积为 ( )
A. B. C. D.
11、在△ABC中,若 ,则△ABC是( )
A.有一内角为30°的直角三角形 B.等腰直角三角形
C.有一内角为30°的等腰三角形D.等边三角形
§2.数列
1、数列
[数列的通项公式] [数列的前n项和]