数学试题

2013年北京高考数学文科试题

时间:2013-06-14 来源:无忧教育网 编辑:丫丫 点击:

2013年北京高考数学文科试题

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2013年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)

数学(文)

本试卷共5页,150分.考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上答无效。考试结束后,将本卷和答题卡一并交回。

第一部分 (选择题 共40分)

一、 选择题共8小题。每小题5分,共40分。在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的一项。

(1)已知集合A={-1,0,1},B={x|-1≤x<1},则A∩B= ( )

(A){0} (B){-1,,0} (C){0,1} (D){-1,,0,1}

(2)设a,b,c∈R,且a

(A)ac>bc (B) < (C)a2>b2 (D)a3>b3

(3)下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+ ∞)上单调递减的是

(A)y= (B)y=e-3

(C)y=x2+1 (D)y=lg∣x∣

(4)在复平面内,复数i(2-i)对应的点位于

(A)第一象限 (B)第二象限

(C)第三象限 (D)第四象限

(5)在△ABC中,a=3,b=5,sinA= ,则sinB

(A) (B)

(C) (D)1

(6)执行如图所示的程序框图,输出的S值为

 

(A)1

(B)

(C)

(D)

(7)双曲线x²- =1的离心率大于 的充分必要条件是

(A)m> (B)m≥1

(C)m大于1 (D)m>2

(8)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为对角线BD1的三等分点,P到各顶点的距离的不同取值有

(A)3个 (B)4个

(C)5个 (D)6个

第二部分(非选择题 共110分)

二、填空题共6题,每小题5分,共30分。

(9)若抛物线y2=2px的焦点坐标为(1,0)则p=____;准线方程为_____

(10)某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥的体积 为__________.

(11)若等比数列{an}满足a2+a4=20,a3+a5=40,则公比q=__________;前n项sn=_____.

(12)设D为不等式组 ,表示的平面区域,区域D上的点与点(L,0)之间的距离的最小值为___________.

(13)函数f(x)= 的值域为_________.

(14)已知点A(1,-1),B(3,0),C(2,1).若平面区域D由所有满足AP =λAB+μAC (1≤λ≤2,0≤μ≤1)的点P组成,则D的面积为__________.

 

三、解答题共6小题,共80分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。

(15)(本小题共13分)

已知函数f(x)=(2cos2x-1)sin2x= cos4x.

(1) 求f(x)的最小正周期及最大值

(2) (2)若α∈( ,π)且f(α)= ,求α的值

(16)(本小题共13分)

下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图,空气质量指数小于100表示空气质量优良,空气质量指数大于200表示空气质量重度污染,某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市,并停留2天。

 

(Ⅰ)求此人到达当日空气质量优良的概率

(Ⅱ)求此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率。

(Ⅲ)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大?(结论不要求证明)

 

17.(本小题共14分)

如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,平面PAD⊥底面ABCD,PA⊥AD.E和F分别是CD和PC的中点,求证:

(Ⅰ)PA⊥底面ABCD;

(Ⅱ)BE∥平面PAD

(Ⅲ)平面BEF⊥平面PCD.

 

(18)(本小题共13分)

已知函数f(x)=x2+xsin x+cos x.

(Ⅰ)若曲线y=f(x)在点(a,f(a))处与直线y=b相切,求a与b的值。

(Ⅱ)若曲线y=f(x)与直线y=b 有两个不同的交点,求b的取值范围。

(19)(本小题共14分)

直线y=kx+m(m≠0)与椭圆W: +y2相交与A,C两点,O为坐标原电。

(Ⅰ)当点B的左边为(0,1),且四边形OABC为菱形时,求AC的长;

(Ⅱ)当点B在W上且不是W的顶点时,证明:四边形OABC不可能为菱形。

(20)(本小题共13分)

给定数列a1,a2,…,an。对i-1,2,…n-l,该数列前i项的最大值记为Ai,后n-i项ai+1,ai+2,…,an的最小值记为Bi,di=ni-Bi.

(Ⅰ)设数列{an}为3,4,7,1,写出d1,d2,d3的值.

(Ⅱ)设a1,a2,…,an(n≥4)是公比大于1的等比数列,且a1>0.证明:d1,d2,…dn-1是等比数列。

(Ⅲ)设d1,d2,…dn-1是公差大于0的等差数列,且d1>0,证明:a1,a2,…,an-1是等差数列。

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