2013重庆市高考数学理科试卷
数学试题卷（理工农医类）
特别提醒：
（14）、（15）、（16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分.
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
（1）已知集合 ，集合 ， ，则
（A） （B） （C） （D）
（2）命题“对任意 ，都有 ”的否定为
（A）对任意 ，使得 （B）不存在 ，使得
（C）存在 ，都有 （D）存在 ，都有
（3） （ ）的最大值为
（A）9 （B） （C）3 （D）
（4）以下茎叶图记录了甲、乙两组各5名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）.
甲组 乙组
9 0 9
2 1 5
8
7 4 2 4
已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则 、 的值分别为
（A）2、5 （B）5、5
（C）5,8 （D）8,8
（5）某几何体的三视图如题（5）图所示，则该几何体的体积为
（A）
（B）
（C）200
（D）240
（6）若 ，则函数 两个零点分别位于区间
（A） 和 内 （B） 和 内
（C） 和 内 （D） 和 内
（7）已知圆 ： ，圆 ： ， 、 分别是圆 、 上的动点， 为 轴上的动点，则 的最小值为
（A） （B） （C） （D）
（8）执行如题（8）图所示的程序框图，如果输出 ，那么判断框内应填入的条件是
（A） （B） （C） （D）
（9）
（A） （B） （C） （D）
（10）在平面上， ， ， ．若 ，则 的取值范围是
（A） （B） （C） （D）
二．填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分．把答案填写在答题卡相应位置上．
（11）已知复数 （ 是虚数单位），则 ．
（12）已知 是等差数列， ，公差 ， 为其前 项和，若 、 、 称等比数列，则 ．
（13）从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是 （用数字作答）．
考生注意：（14）、（15）、（16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分．
（14）如题（14）图，在△ 中， ， ， ，过 作△ 的外接圆的切线 ， ⊥ ， 与外接圆交于点 ，则 的长为 ．
（15）在直角坐标系 中，以原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为 的直线与曲线 （ 为参数）相交于 、 两点，则 ．
（16）若关于实数 的不等式 无解，则实数 的取值范围是 ．
三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（17）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分）
设 ，其中 ，曲线 在点（1， ）处的切线与 轴相较于点（0,6）．
（Ⅰ）确定 的值；
（Ⅱ）求函数 的单调区间与极值．
（18）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问8分）
某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个篮球与2个白球的袋中任意摸出1个球，根据摸出4个球中红球与篮球的个数，设一、二、三等奖如下：
奖级 摸出红、蓝球个数 获奖金额
一等奖 3红1蓝 200元
二等奖 3红0蓝 50元
三等奖 2红1蓝 10元
其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级．
（Ⅰ）求一次摸球恰好摸到1个红球的概率；
（Ⅱ）求摸奖者在一次摸奖中获奖金额 的分布列与期望 ．
（19）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问8分）
如题（19）图，四棱锥 中， ⊥底面 ， ， ， ， 为 的中点， ⊥ ．
（Ⅰ）求 的长；
（Ⅱ）求二面角 的余弦值．
（20）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分）
在△ 中，内角 、 、 的对边分别是 、 、 ，且 ．
（Ⅰ）求 ；
（Ⅱ）设 ， ，求 的值．
（21）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分）
如题（21）图，椭圆的中心为原点 ，长轴在 轴上，离心率 ，过左焦点 作 轴的垂线交椭圆于 、 两点， ．
（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；
（Ⅱ）取垂直于 轴的直线与椭圆相较于不同的两点 、 ，过 、 作圆心为 的圆，使椭圆上的其余点均在圆 外．若 ⊥ ，求圆 的标准方程．
（22）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分）
对正整数 ，记 …， ， ， ．
（Ⅰ）求集合 中元素的个数；
（Ⅱ）若 的子集 中任意两个元素之和不是整数的平方，则称 为“稀疏集”．求 的最大值，使 能分成两个不相交的稀疏集的并．
