数学试题

高中数学试题及答案

时间:2013-07-30 来源:无忧教育网 编辑:叶子 点击:

高中数学试题及答案

一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.已知全集 ,集合 ,集合 则 = ( )

A. B.    C.   D.

2.设 为虚数单位,若 复数 为纯虚数,则实数 的值为( )

A. B. C. D.

3.已知一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )

A. B. C. D.

4.设数列 的前 项和为 ,已知首项 ,且对任意正整数 都有 ,若 恒成立,则实数 的最小值为( )

A. B. C. D.

5.已知 为锐角三角形,若角 终边上一点 的坐标为( ),则 =

的值为 (  )

A. B. C. D.与 的大小有关

6. 给出下列四个命题:

①已知函数 则 的图像关于直线 对称;

②平面内的动点 到点 和到直线 的距离相等,则点 的轨迹是抛物线;

③若向量 满足 则 与 的夹角为钝角;

○4存在 使得 成立,其中正确命题的个数是( )

A.0 B.1 C.2 D.3

7.已知点 是曲线 上的任意一点,直线 与双曲线 的渐近线交于 两点,

若 为坐标原点),则下列不等式恒成立的是( )

A. B. C. D.

8. 若平面直角坐标系中两点 与 满足:○1 、 分别在函数 的图像上;○2 与 关于点( )对称,则称点对( )是一个“相望点对”(规定:( )与( )是同一个“相望点对”),函数 与 的图像中“相望点对”的个数是( )

A.8 B.6 C.4 D.2

9. 已知函数 ,

设 且函数 的零点在区间 或 内,则 的值为( )

A. B. C. D.

10.在函数 的图像与 轴所围成的图形中,直线 从点 向右平行移动至 , 在移动过程中扫过平面图形(图中阴影部分)的面积为 ,则 关于 的函数 的图像可表示为( )

第II卷

二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.

11.“求方程 的解”有如下解题思路:设 ,因为 在 上单调递减,且 所以原方程有唯一解为 类比上述解题思路,不等式 的解集为 .

12.随机输入整数 执行如右图所示的程序框图, 则输出的 不小于39的概率为 .

13.已知点 是面积为1的 内一点(不含边界),若

的面积分别为 则 的最小值为 .

14. 若数列 满足: ,

则称数列 为“正弦数列”,现将 这五个数排成一个“正弦数列”,所有排列种数记 为 ,则二项式 的展开式中含 项的系数为 .

三、选做题:请在下列两题中任选一题作答,若两题都做,按第一题评阅计分,本题共5分.

15.(1)(坐标系与参数方程选做题)以平面直角坐标系的原点为极点, 轴的正半轴为极轴,并取相等

的长度单位建立极坐标系,若直线 与曲线 ( 为参数)相交于 两点,则线段 长度为_________.

(2)(不等式选做题)若存在实数 ,使不等式 成立,则实数 的取值范围为_________.

四、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16.(本小题满分12分)

在 中,三个内角 所对的边分别为 ,满足 .

(1)求角 的大小;

(2)求 的最大值,并求取得最大值时角 的大小.

17.(本小题满分12分)

某中学为了增强学生消防安全知识的了解,举行了一次消防知识竞赛,其中一道题是连线题,要求将4种不同的消防工具与它们的4种不同的用途一对一连线,规定:每连对一条得10分,连错一条得-5分,某参赛者随机用4条线把消防工具与用途一对一全部连接起来.

(1)求该参赛者恰好连对一条的概率;

(2)设 为该参赛者此题的得分,求 的分布列与数学期望.

18.(本小题满分12分)

如图所示,在边长为3的等边 中,点 分别是边 上的点,且满足 现将 沿 折起到 的位置,使二面角 成直二面角,连结 .

(1)求证: ;

(2)在线段 上是否存在点 ,使直线 与平面 所成的角为 ?

若存在,求出 的长;若不存在,请说明理由.

19.(本小题满分12分)

已知数列 具有性质:○1 为整数;○2对于任意的正 整数 当 为偶数时, 当 为奇数时, .

(1)若 为偶数,且 成等差数列,求 的值;

(2)若 为正整数,求证:当 时,都有 .

20.(本小题满分13分)

定义:在平面直角坐标系中,以原点为圆心,以 为半径的圆 为椭圆 的“准圆”.已知椭圆 的离心率为 ,直线 与椭圆 的“准圆”相切.

(1) 求椭圆 的方程;

(2) 设点 是椭圆 的“准圆”上的一个动点,过动点 作斜率存在且不为 的两条不同的直线 , 使得 , 与椭圆都相切,试判断 与 是否垂直?并说明理由.

21.(本小题满分14分)

已知函数 , ,设

(1) 求函数 的单调区间;

(2) 若以函数 图像上任一点 为切点的切线斜率为 恒成立,求实数 的取值范围;

(3) 当 时,对任意的 ,且 ,已知存在 使得 ,求证:

 

参考答案

1-5 CDBBC 6- 10 CACBD

(9分)

 

当 即 时, 的最大值为 ,此时

的最大值为 ,取得最大值时, (12分)

17、解:(1) (4分)

 

的分布列为

(10分)

(12分)

18、解:(1) 等边三角形ABC的边长为3,且 ,

在 中, ,由余弦定理得 ,

,折叠后有 (3分)

二面角 为直二面角, 平面 平面

又 平面 平面 , 平面 ,

平面 (5分)

(2)假设在线段 上存在点 ,使得直线 与平面 所成的角为 由(1)证明,

可知 , ,以 为坐标原 点,以射线 分别为 轴, 轴, 轴的正半轴,建立空间直角坐标系 ,如图过点 作 ,垂足为 ,连接

设 ,则

(7分)

 

, 的一个法向量为 (9分)

与 所成的角为

,解得 (11分)

,满足 ,符合题意

在线段 上存在点 ,使得直线 与平面 所成的角为 ,此时 (12分)

19、解:(1)设 , 成等差数列, (2分)

○1当 为偶数时, 此时 (4分)

○1当 为奇数时, 此时

综合上述,可得 的值为 或 (6分)

(2) , , (7分)

又由定义可知, , (9分)

 

 

综上可知,当 时,都有 (12分)

(2)由(1)知椭圆 的“准圆”方程为

设点 ,则 (7分)

设经过点 与椭 圆 相切的直线为

联立 消去 ,得

由 ,化简得 (10分)

设直线 的斜率分别为 .

直线 , 与椭圆 相切

满足方程

,故直线 与 垂直 (13分)

21、解:(1)由题意可知

(1分)

○1当 时, 在 上恒成立 的增区间为

○2当 时,令 得 ;令 得

的增区间为 减区间为

综合上述可得:当 ,增区间为 ;

当 时,增区间为 减区间为 (4分)

 

在 上是减函数,即 在 上是减函数

要证 ,只需证 ,即证

对任意 ,存在 使得

 

 

只需要证 ,即要证:

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