全国高考数学试卷
一、选择题
1 ．（2013年高考上海卷（理））在数列 中, ,若一个7行12列的矩阵的第i行第j列的元素 ,( )则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为( )
(A)18 (B)28 (C)48 (D)63
【答案】A.
2 ．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD版含答案（已校 对））已知数列 满足 ,则 的前10项和等于
(A) (B) (C) (D)
【答案】C
3 ．（2013年高考新课标1（理））设 的三边长分别为 , 的面积为 , ,若 , ,则( )
A.{S n}为递减数列 B.{Sn}为递增数列
C.{S2n-1}为递增数列,{S2n}为递减数列 D.{S2n-1}为递减数列,{S2n}为递增数列
【答案】B
4 ．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD版））函数 的图像如图所示,在区间 上可找到 个不同的数 使得 则 的取值范围是
(A) (B) (C) (D)
【答案】B
5 ．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD版））已知等比数列 的公比为q,记
则以下结论一定正确的是( )[来源:12999数学网]
A.数列 为等差数列,公差为 B.数列 为等比数列,公比为
C.数列 为等比数列,公比为 D.数列 为等比数列,公比为
【答案】C
6 ．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD版含答案））等比数列 的前 项和为 ,已知 , ,则 (A) (B) (C) (D)
【答案】C
7 ．（2013年高考新课标1（理））设等差数列 的前 项和为 ,则 ( )
A.3 B.4 C.5 D.6
【答案】C
8 ．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD版））下面是关于公差 的等差数列 的四个命题:
其中的真命题为
(A) (B) (C) (D)
【答案】D
9 ．（2013年高考江西卷（理））等比数列x,3x+3,6x+6,..的第四项等于
A.-24 B.0 C.12 D.24
【答案】A
二、填空题
10．（2013年高考四川卷（理））在等差数列 中, ,且 为 和 的等比中项,求数列 的首项、公差及前 项和.
【答案】解:设该数列公差为 ,前 项和为 .由已知,可得 . 所以 , 解得 ,或 ,即数列 的首相为4,公差为0,或首相为1,公差为3. 所以数列的前 项和 或
11．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD版含答案））等差数列 的前 项和为 ,已知 ,则 的最小值为________.
【答案】
12．（2013年高考湖北卷（理））古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如三角形数1,3,6,10,,第 个三角形数为 .记第 个 边形数为 ,以下列出了部分 边形数中第 个数的表达式:
三角形数
正方形数
五边形数
六边形数
可以推测 的表达式,由此计算 ___________.
选考题
【答案】1000
13．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD版含附加题））在正项等比数列 中, , ,则满足 的最大正整数 的值为_____________.
【答案】12
14．（2013年高考湖南卷（理））设 为数列 的前n项和, 则
(1) _____; (2) ___________.
【答案】 ;
15．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD版））当 时,有如下表达式:
两边同时积分得:
从而得到如下等式:
请根据以下材料所蕴含的数学思想方法,计算:
【答案】
16．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））已知 是等差数列, ,公差 , 为其前 项和,若 成等比数列,则
【答案】
17．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）若等差数列的前6项和为23,前9项和为57,则数列的前 项和 __________.
【答案】
18．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD版））在等差数列 中,已知 ,则 _____.
【答案】
19．（2013年高考陕西卷（理））观察下列等式:
照此规律, 第n个等式可为___ ____.
【答案】
20．（2013年 高考新课标1（理））若数列{ }的前n项和为Sn= ,则数列{ }的通项公式是 =______.
【答案】 = .
21．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD版））如图,互不-相同的点 和 分别在角O的两条边上,所有 相互平行,且所有梯形 的面积均相等.设 若 则数列 的通项公式是_________.
【答案】
22．（2013年高考北京卷（理））若等比数列{an}满足a2+a4=20,a3+a5=40,则公比q=_______;前n项和Sn=___________.
【答案】2,
23．（2013年普通 高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD版））已知等比数列 是递增数列, 是 的前 项和,若 是方程 的两个根,则 ____________.
【答案】63
三、解答题
24．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD版））设函数 ,证明:
(Ⅰ)对每个 ,存在唯一的 ,满足 ;
(Ⅱ)对任意 ,由(Ⅰ)中 构成的数列 满足 .
【答案】解: (Ⅰ) 是x的单调递增函数,也是n的单 调递增函数. . 综上,对每个 ,存在唯一的 ,满足 ;(证毕) (Ⅱ) 由题知 上式相减: . 法二:
25．（2013年高考上海卷（理））(3 分+6分+9分)给 定常数 ,定义函数 ,数列 满足 .
(1)若 ,求 及 ;(2)求证:对任意 ,;
(3)是否存在 ,使得 成等差数列?若存在,求出所有这样的 ,若不存在,说明理由.
【答案】:(1)因为 , ,故 , (2)要证明原命题,只需证明 对任意 都成立, 即只需证明 若 ,显然有 成立; 若 ,则 显然成立 综上, 恒成立,即对任意的 , (3)由(2)知,若 为等差数列,则公差 ,故n无限增大时,总有 此时, 即 故 , 即 , 当 时,等式成立,且 时, ,此时 为等差数列,满足题意; 若 ,则 , 此时, 也满足题意; 综上,满足题意的 的取值范围是 .
26．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD版含附加题））本小题满分10分.
设数列 ,即当 时, ,记 ,对于 ,定义集合
(1)求集合 中元素的个数; (2)求集合 中元素的个数.
【答案】本题主要考察集合.数列的概念与运算.计数原理等基础知识,考察探究能力及运用数学归纳法分析解决问题能力及推理论证能力. (1)解:由数列 的定义得: , , , , , , , , , , ∴ , , , , , , , , , , ∴ , , , , ∴集合 中元素的个数为5 (2)证明:用数学归纳法先证 事实上, ① 当 时, 故原式成立 ② 假设当 时,等式成立,即 故原式成立 则: ,时, 综合①②得: 于是 由上可知: 是 的倍数 而 ,所以 是 的倍数 又 不是 的倍数, 而 所以 不是 的倍数 故当 时,集合 中元素的个数为 于是当 时,集合 中元素的个数为 又 故集合 中元素的个数为
27．（2013年普通高等学校招生统一考试浙 江数学（理）试题（纯WORD版））在公差为 的等差数列 中,已知 ,且 成等比数列.
(1)求 ; (2)若 ,求
【答案】解:(Ⅰ)由已知得到: ; (Ⅱ)由(1)知,当 时, , ①当 时, ②当 时, 所以,综上所述: ;
28．（2013年高考湖北卷（理））已知等比数列 满足: , .
(I)求数列 的通项公式 ;
(II)是否存在正整数 ,使得 ?若存在,求 的最小值;若不存在,说明理由.
【答案】解:(I)由已知条件得: ,又 , , 所以数列 的通项或 (II)若 , ,不存在这样的正整数 ; 若 , ,不存在这样的正整数 .
29．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））设等差数列 的前n项和为 ,且 , .
(Ⅰ)求数列 的通项公式;
(Ⅱ)设数列 前n项和为 ,且 ( 为常数).令 .求数列 的前n项和 .
[来源:12999.Com]
【答案】解:(Ⅰ)设等差数列 的首项为 ,公差为 , 由 , 得 , 解得, , 因此 (Ⅱ)由题意知: 所以 时, 故, 所以 , 则 两式相减得 整理得 所以数列数列 的前n项和
30．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD版含附加题））本小题满分16分.设 是首项为 ,公差为 的等差数列 , 是其前 项和.记 , ,其中 为实数.
(1)若 ,且 成等比数列,证明: ( );
(2)若 是等差数列,证明: .
【答案】证明:∵ 是首项为 ,公差为 的等差数列 , 是其前 项和 ∴ (1)∵ ∴ ∵ 成等比数列 ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴左边 = 右边= ∴左边=右边∴原式成立 (2)∵ 是等差数列∴设公差为 ,∴ 带入 得: ∴ 对 恒成立 ∴ 由①式得: ∵ ∴ 由③式得: 法二:证:(1)若 ,则 , , . 当 成等比数列, , 即: ,得: ,又 ,故 . 由此: , , . 故: ( ). (2) , . (※) 若 是等差数列,则 型. 观察(※)式后一项,分子幂低于分母幂, 故有: ,即 ,而 ≠0, 故 . 经检验,当 时 是等差数列.
31．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD版含答案（已校对））等差数 列 的前 项和为 ,已知 ,且 成等比数列,求 的通项式.
【答案】
32．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））已知首项为 的等比数列 不是递减数列, 其前n项和为 , 且S3 + a3, S5 + a5, S4 + a4成等差数列.
(Ⅰ) 求数列 的通项公式;
(Ⅱ) 设 , 求数列 的最大项的值与最小项的值.
【答案】
33．（2013年高考江西卷（理））正项数列{an}的前项和{an}满足:
(1)求数列{an}的通项公式an;
(2)令 ,数列{bn}的前 项和为 .证明:对于任意的 ,都有
【答案】(1)解:由 ,得 . 由于 是正项数列,所以 . 于是 时, . 综上,数列 的通项 . (2)证明:由于 . 则 . .
34．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD版））设数列 的前 项和为 .已知 , , .
(Ⅰ) 求 的值;
(Ⅱ) 求数列 的通项公式;
(Ⅲ) 证明:对一切正整数 ,有 .
【答案】.(1) 解: , . 当 时, 又 , (2)解: , . ① 当 时, ② 由① — ②,得 数列 是以首项为 ,公差为1的等差数列. 当 时,上式显然成立. (3)证明:由(2)知, ①当 时, , 原不等式成立. ②当 时, , 原不等式亦成立. ③当 时, 当 时,, 原不等式亦成立. 综上,对一切正整数 ,有 .
35．（2013年高考北京卷（理））已知{an}是由非负整数组成的无穷数列,该数列前n项的最大值记为An,第n项之后各项 , ,的最小值记为Bn,dn=An-Bn .
(I)若{an}为2,1,4,3,2,1,4,3,,是一个 周期为4的数列(即对任意n∈N*, ),写出d1,d2,d3,d4的值;
(II)设d为非负整数,证明:dn=-d(n=1,2,3)的充分必要条件为{an}为公差为d的等差数列;
(III)证明:若a1=2,dn=1(n=1,2,3,),则{an}的项只能是1或者2,且有无穷多项为1.
【答案】(I) (II)(充分性)因为 是公差为 的等差数列,且 ,所以 因此 , , . (必要性)因为 ,所以 . 又因为 , ,所以 . 于是 , . 因此 ,即 是公差为 的等差数列. (III)因为 ,所以 , .故对任意 . 假设 中存在大于2的项. 设 为满足 的最小正整数,则 ,并且对任意 ,. 又因为 ,所以 ,且 . 于是 , . 故 ,与 矛盾. 所以对于任意 ,有 ,即非负整数列 的各项只能为1或2. 因此对任意 , ,所以 . 故 . 因此对于任意正整数 ,存在 满足 ,且 ,即数列 有无穷多项为1. 36．（2013年高考陕西卷（理））
设 是公比为q的等比数列. (Ⅰ) 导 的前n项和公式; (Ⅱ) 设q≠1, 证明数列 不是 等比数列.
【答案】解:(Ⅰ) 分两种情况讨论. ① ② . 上面两式错位相减: . ③综上, (Ⅱ) 使用反证法. 设 是公比q≠1的等比数列, 假设数列 是等比数列.则 ①当 =0成立,则 不是等比数列. ②当 成立,则 .这与题目条件q≠1矛盾. ③综上两种情况,假设数列 是等比数列均不成立,所以当q≠1时, 数列 不是等比数列.
