2013年中考数学试卷
（本试卷分A卷（100分）、B卷（60分），满分160分，考试时间120分钟）
A卷（共100分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．下列四个实数中，绝对值最小的数是【 】
A．－5 B． C．1 D．4
2．一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是【 】
A． B． C． D．
3．某公司开发一个新的项目，总投入约11500000000元，11500000000元用科学记数法表示为【 】
A．1.15×1010 B．0.115×1011 C．1.15×1011 D．1.15×109
4．把不等式组 的解集表示在数轴上，下列选项正确的是【 】
A． B． C． D．
5．今年我市有近4万名考生参加中考，为了解这些考生的数学成绩，从中抽取1000名考生的数学成绩进行统计分析，以下说法正确的是【 】
A．这1000名考生是总体的一个样本 B．近4万名考生是总体
C．每位考生的数学成绩是个体 D．1000名学生是样本容量
6．把一块直尺与一块三角板如图放置，若∠1=40°，则∠2的度数为【 】
A．125° B．120° C．140° D．130°
7．成渝路内江至成都段全长170千米，一辆小汽车和一辆客车同时从内江、成都两地相向开出，经过1小时10分钟相遇，小汽车比客车多行驶20千米．设小汽车和客车的平均速度为x千米/小时和y千米/小时，则下列方程组正确的是【 】
A． B． C． D．
8．如图，在 ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F， ，则DE：EC=【 】
A．2：5 B．2：3 C．3：5 D．3：2
9．若抛物线 与y轴的交点为（0，﹣3），则下列说法不正确的是【 】
A．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴是x=1
C．当x=1时，y的最大值为﹣4 D．抛物线与x轴的交点为（－1，0），（3，0）
10．同时抛掷A、B两个均匀的小立方体（每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6），设两立方体朝上的数字分别为x、y，并以此确定点P（x，y），那么点P落在抛物线 上的概率为【 】
A． B． C． D．
11．如图，反比例函数 （x＞0）的图象经过矩形OABC对角线的交点M，分别于AB、BC交于点D、E，若四边形ODBE的面积为9，则k的值为【 】
A．1 B．2 C．3 D．4
12．如图，半圆O的直径AB=10cm，弦AC=6cm，AD平分∠BAC，则AD的长为【 】
A． cm B． cm C． cm D．4 cm
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．若m2－n2=6，且m－n=2，则m＋n= ▲ ．
14．函数 中自变量x的取值范围是 ▲ ．
15．一组数据3，4，6，8，x的中位数是x，且x是满足不等式组 的整数，则这组数据的平均数是 ▲ ．
16．已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8，M、N分别是边BC、CD的中点，P是对角线BD上一点，则PM+PN的最小值= ▲ ．
三、解答题（本大题共5小题，共44分）
17．计算： ．
18．已知，如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACD=∠DCE=90°，D为AB边上一点．求证：BD=AE．
19．随着车辆的增加，交通违规的现象越来越严重，交警对某雷达测速区检测到的一组汽车的时速数据进行整理，得到其频数及频率如表（未完成）：
数据段 频数 频率
30～40 10 0.05
40～50 36
50～60 0.39
60～70
70～80 20 0.10
总计 200 1
注：30～40为时速大于等于30千米而小于40千米，其他类同
（1）请你把表中的数据填写完整；
（2）补全频数分布直方图；
（3）如果汽车时速不低于60千米即为违章，则违章车辆共有多少辆？
20．如图，某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度，他们在这棵树的正前方一座楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得树顶端D的仰角为60°．已知A点的高度AB为3米，台阶AC的坡度为 （即AB：BC= ），且B、C、E三点在同一条直线上．请根据以上条件求出树DE的高度（侧倾器的高度忽略不计）．
21．某地区为了进一步缓解交通拥堵问题，决定修建一条长为6千米的公路．如果平均每天的修建费y（万元）与修建天数x（天）之间在30≤x≤120，具有一次函数的关系，如下表所示．
x 50 60 90 120
y 40 38 32 26
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）后来在修建的过程中计划发生改变，政府决定多修2千米，因此在没有增减建设力量的情况下，修完这条路比计划晚了15天，求原计划每天的修建费．
B卷（共60分）
四、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
22．在△ABC中，已知∠C=90°， ，则 = ▲ ．
23．如图，正六边形硬纸片ABCDEF在桌面上由图1的起始位置沿直线l不滑行地翻滚一周后到图2位置，若正六边形的边长为2cm，则正六边形的中心O运动的路程为 ▲ cm．
24．如图，已知直线l： ，过点M（2，0）作x轴的垂线交直线l于点N，过点N作直线l的垂线交x轴于点M1；过点M1作x轴的垂线交直线l于N1，过点N1作直线l的垂线交x轴于点M2，…；按此作法继续下去，则点M10的坐标为 ▲ ．
25．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A（13，0），直线 与⊙O交于B、C两点，则弦BC的长的最小值为 ▲ ．
五、解答题（本大题共3小题，每小题12分，共36分）
26．如图，AB是半圆O的直径，点P在BA的延长线上，PD切⊙O于点C，BD⊥PD，垂足为D，连接BC．
（1）求证：BC平分∠PDB；
（2）求证：BC2=AB•BD；
（3）若PA=6，PC=6 ，求BD的长．
27．如图，在等边△ABC中，AB=3，D、E分别是AB、AC上的点，且DE∥BC，将△ADE沿DE翻折，与梯形BCED重叠的部分记作图形L．
（1）求△ABC的面积；
（2）设AD=x，图形L的面积为y，求y关于x的函数解析式；
（3）已知图形L的顶点均在⊙O上，当图形L的面积最大时，求⊙O的面积．
28．已知二次函数 （a＞0）的图象与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）（x1＜x2）两点，与y轴交于点C，x1，x2是方程 的两根．
（1）若抛物线的顶点为D，求S△ABC：S△ACD的值；
（2）若∠ADC=90°，求二次函数的解析式．
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
C C A B C D D B C A C A
13. 3
14. 且x≠1
15. 5
16. 5
17. 解：原式= 。
18. 证明：∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∴AC=BC，CD=CE。
∵∠ACD=∠DCE=90°，∴∠ACE+∠ACD=∠BCD+∠ACD，∴∠ACE=∠BCD。
在△ACE和△BCD中， ，
∴△ACE≌△BCD（SAS）。
∴BD=AE。
19. 解：（1）填表如下：
数据段 频数 频率
30～40 10 0.05
40～50 36 0.18
50～60 78 0.39
60～70 56 0.28
70～80 20 0.10
总计 200 1
（2）如图所示：
（3）违章车辆数：56+20=76（辆）。
答：违章车辆有76辆。
20. 【答案】解：如图，过点A作AF⊥DE于F，则四边形ABEF为矩形，
∴AF=BE，EF=AB=3。
设DE=x，
在Rt△CDE中， ，
在Rt△ABC中，∵ ，AB=3，∴BC= 。
在Rt△AFD中，DF=DE﹣EF=x﹣3，
∴ 。
∵AF=BE=BC+CE，∴ 。解得x=9。
答：树高为9米。
21. 解：（1）设y与x之间的函数关系式为 ，由题意，得
，解得： 。
∴y与x之间的函数关系式为： （30≤x≤120）。
（2）设原计划要m天完成，则增加2km后用了（m+15）天，由题意，得
，解并检验得：m=45。
∴
答：原计划每天的修建费为41万元。
22
23
24. （884736，0）
25. 24
26. 【答案】解：（1）证明：连接OC，
∵PD为圆O的切线，∴OC⊥PD。
∵BD⊥PD，∴OC∥BD。∴∠OCB=∠CBD。
∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC。
∴∠CBD=∠OBC，即BC平分∠PBD。
（2）证明：连接AC，
∵AB为圆O的直径，∴∠ACB=90°。
∵∠ACB=∠CDB=90°，∠ABC=∠CBD，∴△ABC∽△CBD。
∴ ，即BC2=AB•BD。
（3）∵PC为圆O的切线，PAB为割线，∴PC2=PA•PB，即72=6PB，解得：PB=12。
∴AB=PB－PA=12－6=6。∴OC=3，PO=PA+AO=9。
∵△OCP∽△BDP，∴ ，即 。
∴BD=4。
27. 解：（1）如图1，作AH⊥BC于H，则∠AHB=90°。
∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC=3。
∵∠AHB=90°，∴BH= BC= 。
在Rt△ABH中，由勾股定理，得AH= 。
∴ 。
（2）如图2，当0＜x≤ 时， 。
作AG⊥DE于G，∴∠AGD=90°，∠DAG=30°。
∴DG=x，AG= 。
∴ 。
如图3，当 ＜x＜3时，作MG⊥DE于G，
∵AD=x，∴BD=DM=3－x，
∴DG= ，MF=MN=2x－3，MG=
∴ 。
综上所述，y关于x的函数解析式为 。
（3）当0＜x≤ 时，
∵a= ＞0，开口向上，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，
∴x= 时， 。
当 ＜x＜3时， ，
∵a= ＜0，开口向下，∴x=2时，
∵ ＞ ，∴y最大时，x=2。
∴DE=2，BD=DM=1。
如图4，作FO⊥DE于O，连接MO，ME，
∴DO=OE=1。∴DM=DO。
∵∠MDO=60°，∴△MDO是等边三角形。
∴∠DMO=∠DOM=60°，MO=DO=1。
∴MO=OE，∠MOE=120°。
∴∠OME=30°。∴∠DME=90°。
∴DE是直径。
∴ 。
28. 解：（1）解方程 ，得x=－5或x=1，
∵x1＜x2，∴x1=﹣5，x2=1。∴A（﹣5，0），B（1，0）。
∴抛物线的解析式为： （a＞0）。
∴对称轴为直线x=2，顶点D的坐标为（－2，－9a）。
令x=0，得y=－5a，∴C点的坐标为（0，﹣5a）。
依题意画出图形，如图所示，
则OA=5，OB=1，AB=6，OC=5a。
过点D作DE⊥y轴于点E，
则DE=2，OE=9a，CE=OE－OC=4a。
∴
。
而 ，
∴ 。
（2）如图所示，
在Rt△DCE中，由勾股定理得：CD2=DE2+CE2=4+16a2，
在Rt△AOC中，由勾股定理得：AC2=OA2+OC2=25+25a2，
设对称轴x=2与x轴交于点F，则AF=3，
在Rt△ADF中，由勾股定理得：AD2=AF2+DF2=9+81a2。
∵∠ADC=90°，∴△ACD为直角三角形，
由勾股定理得：AD2+CD2=AC2，
即 ，化简得： 。
∵a＞0，∴ 。
∴抛物线的解析式为： ，即 。
