初中三角函数教案
初中三角函数
1 ． 1? 正弦和余弦
例 1? 已知 0 °≤α≤ 90 °．（ 1 ）求证： sin2 α +cos2 α =1 ；
（ 2 ）求证： sin α +cos α≥ 1 ，讨论在什么情形下等号成立；
（ 3 ）已知 sin α +cos α =1 ，求 sin3 α +cos3 α的值．
证明 （ 1 ）如图 6-1 ，当 0 °＜α＜ 90 °时， sin α =BC/AB ， cos α =AC/AB ，所以在这种情形下
当α =0 °时， sin α =0 ， cos α =1 ；当α =90 °， sin α =1 ， cos α =0 ．所以在这两种情形下仍有
sin2 α +cos2 α =1 ．
（ 2 ）如图 6-1 ，当 0 °＜α＜ 90 °时， sin α =BC/AB ， cos α =AC/AB ．所以在这种情形下
当α =0 °时， sin α +cos α =0+1=1 ；当α =90 °时， sin α +cos α =1+0=1 ．所以当 0 °≤α≤ 90 °时，总有
sin α +cos α≥ 1 ，
当并且只当α =0 °或α =90 °时，等号成立．
（ 3 ）由于已知 sina+cos α =1 ．由（ 2 ）可知α =0 °或α =90 °，所以总有
sin3 α +cos3 α =1 ．
例 2 ? 求证：对于 0 °≤α≤ 90 °，
证法一 ? 如图 6-1 ，设 BC=a ， AC=b ， AB=c ．由锐角三角函数
当α =0 °或α =90 °时，容易验证以上等式仍成立．
证法二
点评 ? 证法一是根据锐角三角函数的定义；证法二用了公式 sin2 α +cos2 α =1 ．
证明一个三角恒等式成立，可变换等号左（右）端的式子，如得到等号右（左）端的式子，原恒等式就被证明了．一般对较复杂的式子进行变换，也可以对等号左、右的式子都进行变换，如得到相同的式子，原恒等式就被证明了．
1 ． 2? 正切和余切?
证明 （ 1 ）当 0 °＜α＜ 90 °时，如图 6-2 ，
当α =0 °时， tg α =0 ， sin α =0 ， cos α =1 ．所以仍有 tg α =
（ 2 ）α必须满足不等式：
0 °＜α＜ 90 °．
如图 6-2 ，
所以 tg α· ctg α =1 ．
例 2 ? 已知锐角α，且 tg α是方程 x2-2x-3=0 的一个根，求
解法一 ? x2-2x-3=0 的两根为 3 和 -1 ．这里只能是 tg α =3 ．
如图 6-3 ，由于 tg α =3 ．因此可设 BC=3 ， AC=1 ，从而
解法二 ?tg α =3 ，用 cos2 α除原式分子、分母，得
证法一 ? 如图 6-2 ，设 BC=a ， AC=b ， AB=c ，则
所以原式成立．
证法二 ? 等式的左端
点评 ? 这里α≠ 0 °， 90 °．
怎样理解锐角三角函数的概念？
答：现行初中几何课本中给出锐角三角函数的定义，是依据这样一个基本事实：在直角三角形中，当锐角固定时，它的对边、邻边与斜边的比值是一个固定的值．
1 ，图中的直角三角形 AB1C1 ， AB2C2 ， AB3C3 ，…都有一个相等的锐角 A ，即锐角 A 取一个固定值．如图所示，许许多多直角三角形中相等的那个锐角叠合在一起，并使一条直角边落在同一条直线上，那么斜边必然都落在另一条直线上．不难看出，
