2013年中考二模数学试题
九年级数学试卷
注意事项：
1．答卷前将答卷纸上密封线内的项目填写清楚．
2．用钢笔或圆珠笔（蓝色或黑色）直接答在答卷纸上，不能答在试卷上．
一、选择题（本大题共有6小题，每小题2分，共计12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题卡上）
1．以下关于 的说法，错误的是（ ▲ ）
A． B． 是无理数 C． D．
2．数据7、8、9、10、6、10、8、9、7、10的众数是（ ▲ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
3．把一块直尺与一块三角板如图放置，若∠1=45°，则∠2的度数为（ ▲ ）
A．120° B．135° C．145° D．150°
4．如图，∠1，∠2，∠3，∠4是五边形ABCDE的外角，且∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝70°，则∠AED的度数是（ ▲ ）
A．100° B．105° C．108° D．110°
5．点A1、 A2、 A3、 …、 An（n为正整数）都在数轴上，点A1在原点O的左边，且A1O=1；点A2在点A1的右边，且A2A1=2；点A3在点A2的左边，且A3A2=3；点A4在点A3的右边，且A4A3=4；……，依照上述规律，点A2013所表示的数为（ ▲ ）.
A. -2013 B. 2013 C. -1007 D.1007
6．如图，∠ACB＝60○，半径为2的⊙O切BC于点C，若将⊙O在CB上向右滚动，则当滚动到⊙O与CA也相切时，圆心O移动的水平距离为（ ▲ ）
A．2π B．π C． D．4
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上）
7．不等式组 的解集为 ▲ ．
8．方程x(x－1)＝2(x－1)的解是 ▲ ．
9．若两个相似三角形的相似比为1：4，则它们的周长比为 ▲ ．
10．等腰△ABC的一个外角是80°，则其顶角的度数为 ▲ ．
11．分解因式2x2—4x+2的最终结果是 ▲ ．
12．把一次函数y=－2x＋4的图象向左平移2个长度单位，新图象的函数表达式是 ▲ ．
13．已知二次函数 中函数y与自变量 之间的部分对应值如下表所示，点 、 在函数图象上，当0＜x1＜1，2＜x2＜3时，则 ▲ （填“ ”或“ ”）．
x …… 0 1 2 3 ……
y …… 1 -2 -3 -2 ……
14．已知关于 的方程 的解是负数，则m的取值范围为___ ___ ▲ ______．
15．如图，以数轴上的原点 为圆心，6为半径的扇形中，圆心角∠AOB=90°，另一个扇形是以点 为圆心，10为半径，圆心角∠CPD=60°，点 在数轴上表示实数 ，如果两个扇形的圆弧部分（⌒AB和⌒CD）相交，那么实数 的取值范围是 ▲ ．
16．如图，在△ABC中，AB=AC，D、E是△ABC 内两点，AD平分∠BAC，∠EBC=∠E=60°，若BE=6cm，DE=2cm，则BC= ▲ cm．
三、解答题（本大题共12小题，共88分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本题6分）计算：
18．（本题6分）先化简再求值： ，其中x是方程 的根.
19．（本题6分）在如图所示的三个函数图像中，有两个函数图像能近似地刻画如下a、b两个情境：
情境a：小芳离开家不久，发现把作业本忘在家里，于是返回家里找到了作业本再去学校；
情境b:小芳从家出发，走了一段路程后，为了赶时间，以更快的速度前进．
(1)情境a，b所对应的函数图像分别为 ▲ ， ▲ ．(填写序号)
(2)请你为剩下的函数图像写出一个适合的情境．
20．（本题6分）今年N市春季房地产展示交易会期间，某公司对参加本次房交会的消费者的年收入和打算购买住房面积这两项内容进行了随机调查，共发放100份问卷，并全部收回．统计相关数据后，制成了如下的统计表和统计图：
请你根据以上信息，回答下列问题：
（1）求出统计表中的 = ▲ ，并补全统计图；
（2）打算购买住房面积不小于100平方米的消费者人数占被调查人数的百分比为 ▲ ；
（3）求被调查的消费者平均每人年收入为多少万元？
21．（本题6分）某商场“五一节”期间举办促销活动，顾客每购买一定金额的商品，即可获得一次摸奖机会，中奖的概率为0.5，该商场设计了一个摸奖方案：
在一个不透明的口袋里放入红、白、黄三种颜色的球（除颜色外其余都相同），已放入红球2个，黄球1个．若从中任意摸出一个球为红球即为中奖．
（1）在口袋中还应放入几个白球？
（2）在（1）的条件下，从袋中任意摸出一球，不放回，摇匀后再摸出一球，则两次都摸到红球的概率是多少？请列表或画树状图进行说明．
22．（本题6分）如图，在△ABC和△DCB中，AB = DC，AC = DB，AC与DB交于点M．
（1）求证：△ABC≌△DCB ；
（2）过点C作CN∥BD，过点B作BN∥AC，CN与BN交于点N，试判断线段BN与CN的数量关系，并证明你的结论．
23．（本题6分）如图所示，A、B两地之间有一条河，原来从A地到B地需要经过桥DC，沿折线A→D→C→B到达，现在新建了桥EF，可直接沿直线AB从A地到达B地．已知BC=16km，∠A=53°，∠B=30°．桥DC和AB平行，则现在从A地到达B地可比原来少走多少路程？
（结果精确到0.1km．参考数据： ，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60）
24．（本题8分）古希腊数学家丢番图（公元250年前后）在《算术》中就提到了一元二次方程问题，不过当时古希腊人还没有寻求到它的求根公式，只能用图解等方法来求解．在欧几里得的《几何原本》中，形如 （a>0，b>0）的方程的图解法是：如图，以 和b为两直角边作Rt△ABC，再在斜边上截取BD= BC= ，则AD的长就是所求方程的解．
（1）请用含字母a、b的代数式表示AD的长；
（2）请利用你已学过的方程知识验证该图解法的正确性，并说说这种解法的遗憾之处．
25．（本题8分）已知抛物线y＝ax2＋bx经过点A(3，3)和点P (t，0) ，且t ≠ 0．
(1) 若t=2，求a、b的值；
(2) 若t ＞3，请判断该抛物线的开口方向．
26．（本题8分）如图，AB是⊙O的直径，弦DE垂直平分半径OA，C为垂足，弦DF与半径OB相交于点P，连结EF、EO，若 ，∠D=45°．
（1）求⊙O的半径；
（2）求图中阴影部分的面积．
27．（本题10分）我区的某公司，用1800万元购得某种产品的生产技术、生产设备，进行该产品的生产加工，已知生产这种产品每件还需成本费40元．经过市场调研发现：该产品的销售单价，需定在100元到200元之间为合理. 当单价在100元时，销售量为20万件，当销售单价超过100元，但不超过200元时，每件新产品的销售价格每增加10元，年销售量将减少1万件；设销售单价为x（元），年销售量为y（万件），年获利为W（万元）．
（年利润=年销售总额―生产成本―投资成本）
（1）直接写出y与x之间的函数关系式；
（2）求第一年的年获利W与x之间的函数关系式，并请说明不论销售单价定为多少，该公司投资的第一年肯定是亏损的，最小亏损是多少？
（3）在使第一年亏损最小的前提下，若该公司希望到第二年的年底，弥补第一年的亏损后，两年的总盈利为1490万元，且使产品销售量最大，销售单价应定为多少元？
28．（本题12分）已知两个全等的直角三角形纸片△ABC、△DEF，如图1放置，点B、D重合，点F在BC上，AB与EF交于点G．∠C=∠EFB=90º，∠E=∠ABC=30º，AB=DE=4．
（1）若纸片△DEF不动，把△ABC绕点F逆时针旋转30º时，连结CD，AE，如图2．
①求证：四边形ACDE为梯形；
②求四边形ACDE的面积．
（2）将图1中的△ABC绕点F按每秒10°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，直接写出△ABC恰有一边与DE平行的时间．（写出所有可能的结果）
2013年溧水区初三第二次模拟试卷评分标准
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共计12分．）
1．A 2．D 3．B 4．A 5．C 6．C
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共计20分．）
7． 8．x=1、x＝2 9．1：4 10．100° 11．2（x—1）2 12．y=－2x 13． 14．m -8且m≠-4 15． 16．8
三、解答题（本大题共12小题，共计88分）
17．
= ……………………………………………………4分
=2……………………………………………………………………………6分
18．
= ……………………………………………3分
=x+1…………………………………………………………………………4分
方程 的根是：
x1=0、x1=2 ……………………………………………………………5分
∵x不能取0，∴当x1=2时，原式=3…………………………………6分
19．（1）③、①（对1个得2分） …………………………………………4分
（2）小芳离开家走了一段路程后来到一个报亭，在报亭读了一段时间报后，按原速回家了．（答案不唯一）……………………………………………………………6分
20．（1） =30； ……………………………………………………………2分
（2）48%；………………………………………………… ……………4分
（3） ……………6分
21．解：（1）设白球的个数有x个．
= ……………………………………………………2分
解得x=1．…………………………………………………………3分
答：白球的个数为1个；
（2）
P(两次摸到红球)= …………………………………………………6分
22．如图，在△ABC和△DCB中， AC与DB交于点M．
（1）∵AB = DC，AC = DB，BC=CB …………………2分
∴△ABC≌△DCB………………………………………3分
（2）BN=CN
理由：∵CN∥BD、BN∥AC
∴∠1=∠4、∠2=∠3…………………………………4分
∵△ABC≌△DCB
∴∠1=∠2 ……………………………………………5分
∴∠3=∠4
∴BN=CN………………………………………………6分
23．作DG⊥AB于G、CH⊥AB于H
在Rt△BCH中，Sin∠B= ，BC=16km，∠B=30°
∴CH=8；………………………………………………………2分
cos∠B= ∴BH=8 ………………………………………3分
易得DG=CH=8
在△ADG中,Sin∠A= 、DG=8 ∴AD=10、AG=6………4分
∴（AD+DC+CB）-（AG+GH+HB）=20-8 ≈6.2…………6分
24．解：（1）∵∠C=90°，BC= ，AC=b
∴AB= …………………………………………………………………3分
………………………………………5分
（2） 用求根公式求得： ； …………7分
正确性：AD的长就是方程的正根。
遗憾之处：图解法不能表示方程的负根……………………………………………8分
25．(1) 由题意得： ………………………………………………………2分
解得， ，………………………………………………………………4分
(2) 由题意得：
由（1）得b=1-3a，将其代入（2）得：at2+(1-3a)t=0．……………………5分
∵t ≠ 0，∴at+(1-3a) =0，整理得a(t -3) =-1 …………………………………6分
∵t ＞3，∴t -3＞0，∴a ＜0，…………………………………………………7分
∴该抛物线的开口向下． …………………………………………………………8分
26．解：（1）∵直径AB⊥DE
∴ ……………………………1分
∵DE平分AO
∴
又∵
∴ ………………………………………2分
在Rt△COE中， ……………4分
∴⊙O的半径为4．
（2）连结OF
在Rt△DCP中，∵
∴ …………………………………5分
∵ ………………………6分
∵ ……………………………7分
∴ ……………………………………………8分
27．解：（1） ………………………………………………2分
（2）W=（x－40）（－0.1x+30）―1800……………………………………………4分
=－0.1x2+34x－3000
=－0.1（x－170）2－110……………………………………………………5分
∵不论x取何值，－0.1（x－170）2≤0，
∴W=－0.1（x－170）2－110＜0，
即：不论销售单价定为多少，该公司投资的第一年肯定是亏损 ……………6分
∵100＜x≤200
∴当x=170时，第一年最少亏损110万元．……………………………………7分
（3）依题意得
（x－40）（－0.1x+30）―110=1490 ……………………………………………8分
解之得x1=140 x2=200 ………………………………………………………9分
∵k=－0.1＜0，∴y随x增大而减小，
∴要使销量最大，售价要最低，即x=140元……………………………………10分
28．（1）①∵∠1=30°、∠2=60°
∴∠3=90°=∠ACB
∴AC∥BD，且AC≠BD………………………………………………………2分
∴四边形ACDE为梯形；………………………………………………………3分
②BC交DE于G，在Rt△FDG中,FD=2，∠1=30°
∴FG= ,而CF=2 -2
∴CG=3 -2………………………………………………………………………5分
∴ …………………………………6分
（2）3、12、15、21、30、33. ……………………………………每答出一解，得1分
