高三理科数学试题(2)
（19）本小题满分12分
甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束.除第五局甲队获胜的概率是 外，其余每局比赛甲队获胜的概率是 .假设每局比赛结果互相独立.
（1）分别求甲队以3：0，3：1，3：2胜利的概率
（2）若比赛结果为3：0或3：1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为
3：2，则胜利方得2分、对方得1分，求乙队得分x的分布列及数学期望.
解答：（1） ， ，
（2）由题意可知X的可能取值为：3,2,1,0
相应的概率依次为： ，所以EX=
（20）（本小题满分12分）
设等差数列｛an｝的前n项和为Sn，且S4=4S2，a2n=2an+1
（1） 求数列｛an｝的通项公式；
（2） 设数列｛bn｝的前n项和Tn，且Tn+ = λ（λ为常数），令cn=b2n，（n∈N•）.求数列｛cn｝的前n项和Rn.
解答：（1）由S4=4S2，a2n=2an+1，｛an｝为等差数列，可得，
所以
（2）由Tn+ = λ可得， ，Tn-1+ = λ两式相减可得，当 时， ，所以当 时，cn=b2n= ，错位相减法可得，Rn=
当 时，cn=b2n= ，可得Rn=
（21）（本小题满分13分）
设函数 是自然对数的底数， .
（1）求 的单调区间，最大值；
（2）讨论关于x的方程 根的个数.
解答：（1） ，令 得， ，
当
所以当 时，函数取得最的最大值
（2）由（1）知，f(x)先增后减，即从负无穷增大到 ，然后递减到c，而函数|lnx|是（0,1）时由正无穷递减到0，然后又逐渐增大。
故令f(1)=0得， ，
所以当 时，方程有两个根；
当 时，方程有一两个根；
当 时，方程有无两个根.
（22）（本小题满分13分）
椭圆C： （a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1、F2,离心率为 ，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为l.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1、PF2,设∠F1PF2的角平分线
PM交C的长轴于点M（m，0），求m的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过点p作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点， 设直线PF1,PF2的斜率分别为k1，k2，若k≠0，试证明 为定值，并求出这个定值.
解答：（1）由已知得， ， ，解得
所以椭圆方程为：
（2）由题意可知： = , = ,设 其中 ，将向量坐标代入并化简得：m（ ，因为 ，
所以 ，而 ，所以
（3）由题意可知，l为椭圆的在p点处的切线，由导数法可求得，切线方程为：
，所以 ，而 ，代入 中得：
为定值.
