数学试卷压轴题
2011年全国各地数学中考题汇编——压轴题
2011.7.6
（黄冈市2011）24．（14分）如图所示，过点F（0，1）的直线y=kx＋b与抛物线 交于M（x1，y1）和N（x2，y2）两点（其中x1＜0，x2＜0）．
⑴求b的值．
⑵求x1•x2的值
⑶分别过M、N作直线l：y=－1的垂线，垂足分别是M1、N1，判断△M1FN1的形状，并证明你的结论．
⑷对于过点F的任意直线MN，是否存在一条定直线m，使m与以MN为直径的圆相切．如果有，请法度出这条直线m的解析式；如果没有，请说明理由．
答案：24．解：⑴b=1⑵显然 和 是方程组 的两组解，解方程组消元得 ，依据“根与系数关系”得 =－4
⑶△M1FN1是直角三角形是直角三角形，理由如下：
由题知M1的横坐标为x1，N1的横坐标为x2，设M1N1交y轴于F1，则F1M1•F1N1=－x1•x2=4，而FF1=2，所以F1M1•F1N1=F1F2，另有∠M1F1F=∠FF1N1=90°，易证Rt△M1FF1∽Rt△N1FF1，得∠M1FF1=∠FN1F1，故∠M1FN1=∠M1FF1＋∠F1FN1=∠FN1F1＋∠F1FN1=90°，所以△M1FN1是直角三角形．
⑷存在，该直线为y=－1．理由如下：
直线y=－1即为直线M1N1．
如图，设N点横坐标为m，则
（黄石市2011年）24.（本小题满分9分）已知⊙ 与⊙ 相交于 、 两点，点 在⊙ 上， 为⊙ 上一点（不与 ， ， 重合），直线 与⊙ 交于另一点 。
（1）如图（8），若 是⊙ 的直径，求证： ；
（2）如图(9)，若 是⊙ 外一点，求证： ；
（3）如图（10），若 是⊙ 内一点，判断（2）中的结论是否成立。
答案：24．（9分）证明：（1）如图（一），连接 ，
∵ 为⊙ 的直径 ∴
∴ 为⊙ 的直径 ∴ 在 上
又 ， 为 的中点
∴△ 是以 为底边的等腰三角形
∴ （3分）
（2）如图（二），连接 ，并延长 交⊙ 与点 ，连
∵四边形 内接于⊙ ∴
又∵ ∴
∴
又 为⊙ 的直径 ∴
∴ （3分）
（3）如图（三），连接 ，并延长 交⊙ 与点 ，连
∵ 又
∴
∴ 又
∴ （3分）
（黄石市2011年）25.（本小题满分10分）已知二次函数
（1）当 时，函数值 随 的增大而减小，求 的取值范围。
（2）以抛物线 的顶点 为一个顶点作该抛物线的内接正三角形 （ ， 两点在抛物线上），请问：△ 的面积是与 无关的定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由。
（3）若抛物线 与 轴交点的横坐标均为整数，求整数 的值。
答案：25．（10分）解：（1）∵
∴由题意得， （3分）
（2）根据抛物线和正三角形的对称性，可知 轴，设抛物线的对称轴与 交于点 ，则 。设
∴
又
∴ ∴
∴ ，
∴ 定值 （3分）
（3）令 ，即 时，有
由题意， 为完全平方数，令
即
∵ 为整数， ∴ 的奇偶性相同
∴ 或
解得 或
综合得
（2011年广东茂名市）如图，⊙P与 轴相切于坐标原点O（0，0），与 轴相交于点A（5，0），过点A的直线AB与 轴的正半轴交于点B，与⊙P交于点C．
（1）已知AC=3，求点Ｂ的坐标； （４分）
（2）若AC= , D是OＢ的中点．问：点O、P、C、D四点是否在同一圆上？请说明理由．如果这四点在同一圆上，记这个圆的圆心为 ，函数 的图象经过点 ，求 的值（用含 的代数式表示）． （４分）
解：
六、（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
24、解：（1）解法一：连接OC，∵OA是⊙P的直径，∴OC⊥AB，
在Rt△AOC中， ，1分
在 Rt△AOC和Rt△ABO中，∵∠CAO=∠OAB
∴Rt△AOC∽Rt△ABO，••••••••••••••••••••••••••••2分
∴ ，即 ， ••••••••••••••••••••3分
∴ ， ∴ ••••••••••••••••••••4分
解法二：连接OC，因为OA是⊙P的直径， ∴∠ACO=90°
在Rt△AOC中，AO=5，AC=3，∴OC=4， ••••••••••••1分
过C作CE⊥OA于点E，则： ，
即： ，∴ ，•••••••••••••••••••••••••2分
∴ ∴ ，•••••••••3分
设经过A、C两点的直线解析式为： ．
把点A（5，0）、 代入上式得：
， 解得： ，
∴ ， ∴点 ．•4分
（2）点O、P、C、D四点在同一个圆上，理由如下：
连接CP、CD、DP，∵OC⊥AB，D为OB上的中点， ∴ ，
∴∠3=∠4，又∵OP=CP，∴∠1=∠2，∴∠1+∠3=∠2+∠4=90°，
∴PC ⊥CD，又∵DO⊥OP，∴Rt△PDO和Rt△PDC是同以PD为斜边的直角三角形，∴PD上的中点到点O、P、C、D四点的距离相等，
∴点O、P、C、D在以DP为直径的同一个圆上； •••••••••••••••••6分
由上可知，经过点O、P、C、D的圆心 是DP的中点，圆心 ，
由（1）知：Rt△AOC∽Rt△ABO，∴ ，求得：AB= ，在Rt△ABO中，
，OD= ，
∴ ，点 在函数 的图象上，
∴ ， ∴ ． ••••••••••••••••8分
（2011年广东茂名市）如图，在平面直角坐标系 中，已知抛物线经过点Ａ(0，4)，B(1，0)，C（5，0），抛物线对称轴 与 轴相交于点M．
（1）求抛物线的解析式和对称轴； （3分）
（2）设点P为抛物线（ ）上的一点，若以A、O、M、P为顶点的四边形四条边的长度为四个连续的正整数，请你直接写出点P的坐标； （2分）
（3）连接AC．探索：在直线AC下方的抛物线上是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请你求出点N的坐标；若不存在，请你说明理由． （3分）
解：
25、解：（1）根据已知条件可设抛物线的解析式为 ，••••••••••••1分
把点A（0，4）代入上式得： ，
∴ ，•••••••••••2分
∴抛物线的对称轴是： ．••••••••••••••••••••••••••••••••••••••3分
（2）由已知，可求得P（6，4）． •••••••••••••••••••••••••••••••••••5分
提示：由题意可知以A、O、M、P为顶点的四边形有两条边AO=4、OM=3，又知点P的坐标中 ，所以，MP>2,AP>2；因此以1、2、3、4为边或以2、3、4、5为边都不符合题意，所以四条边的长只能是3、4、5、6的一种情况，在Rt△AOM中， ，因为抛物线对称轴过点M，所以在抛物线 的图象上有关于点A的对称点与M的距离为5，即PM=5，此时点P横坐标为6，即AP=6；故以A、O、M、P为顶点的四边形的四条边长度分别是四个连续的正整数3、4、5、6成立，
即P（6，4）．•••••••••••••••••••••••••••••••••••5分
（注：如果考生直接写出答案P（６，４），给满分2分，但考生答案错误，解答过程分析合理可酌情给1分）
⑶法一：在直线AC的下方的抛物线上存在点N，使△NAC面积最大．
设N点的横坐标为 ，此时点N （ ，过点N作NG∥ 轴交AC于G；由点A（0，4）和点C（5，0）可求出直线AC的解析式为： ；把 代入得： ，则G ，
此时：NG= -（ ），
= ． ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••７分
∴
∴当 时，△CAN面积的最大值为 ，
由 ，得： ，∴N（ ， -3）． •••••••• 8分
法二：提示：过点N作 轴的平行线交 轴于点E，作CF⊥EN于点F，则
（再设出点N的坐标，同样可求,余下过程略）
（重庆市潼南县2011年）26.（12分）如图,在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形,∠ACB=90,AC=BC,OA=1，
OC=4，抛物线 经过A，B两点，抛物线的顶点为D．
（1）求b,c的值；
（2）点E是直角三角形ABC斜边AB上一动点(点A、B除外)，过点E作x轴的垂线
交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E的坐标；
（3）在（2）的条件下：①求以点Ｅ、Ｂ、Ｆ、Ｄ为顶点的四边形的面积；②在抛物线上
是否存在一点P，使△EFP是以EF为直角边的直角三角形? 若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，说明理由.
