高中数学解题基本方法——待定系数法(3)
例4. 有矩形的铁皮，其长为30cm，宽为14cm，要从四角上剪掉边长为xcm的四个小正方形，将剩余部分折成一个无盖的矩形盒子，问x为何值时，矩形盒子容积最大，最大容积是多少？
【分析】实际问题中，最大值、最小值的研究，先由已知条件选取合适的变量建立目标函数，将实际问题转化为函数最大值和最小值的研究。
【解】 依题意，矩形盒子底边边长为(30－2x)cm，底边宽为(14－2x)cm，高为xcm。
∴ 盒子容积 V＝(30－2x)(14－2x)x＝4(15－x)(7－x)x ，
显然:15－x>0，7－x>0，x>0。
设V＝ (15a－ax)(7b－bx)x (a>0,b>0）
要使用均值不等式，则
解得：a＝ ， b＝ ， x＝3 。
从而V＝ ( － )( － x)x≤ ( ) ＝ ×27＝576。
所以当x＝3时，矩形盒子的容积最大，最大容积是576cm 。
【注】均值不等式应用时要注意等号成立的条件，当条件不满足时要凑配系数，可以用“待定系数法”求。本题解答中也可以令V＝ (15a－ax)(7－x)bx 或 (15－x)(7a－ax)bx，再由使用均值不等式的最佳条件而列出方程组，求出三项该进行凑配的系数，本题也体现了“凑配法”和“函数思想”。
Ⅲ、巩固性题组：
函数y＝log x的x∈[2,+∞)上恒有|y|>1，则a的取值范围是_____。
A. 2>a> 且a≠1 B. 0
方程x ＋px＋q＝0与x ＋qx＋p＝0只有一个公共根，则其余两个不同根之和为_____。
A. 1 B. －1 C. p＋q D. 无法确定
如果函数y＝sin2x＋a·cos2x的图像关于直线x＝－ 对称，那么a＝_____。
A. B. － C. 1 D. －1
满足C ＋1·C ＋2·C ＋…＋n·C <500的最大正整数是_____。
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
无穷等比数列{a }的前n项和为S ＝a－ , 则所有项的和等于_____。
A. － B. 1 C. D.与a有关
(1＋kx) ＝b ＋b x＋b x ＋…＋b x ，若b ＋b ＋b ＋…＋b ＝－1，则k＝______。
经过两直线11x－3y－9＝0与12x＋y－19＝0的交点，且过点(3,-2)的直线方程为_____________。
8. 正三棱锥底面边长为2，侧棱和底面所成角为60°，过底面一边作截面，使其与底面成30°角，则截面面积为______________。
9. 设y＝f(x)是一次函数，已知f(8)＝15,且f(2)、f(5)、(f14)成等比数列，求f(1)＋f(2)＋…＋f(m)的值。
10. 设抛物线经过两点(-1,6)和(-1,-2)，对称轴与x轴平行，开口向右，直线y＝2x＋7和抛物线截得的线段长是4 , 求抛物线的方程。
