高中数学解题基本方法——待定系数法
要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法叫待定系数法，其理论依据是多项式恒等，也就是利用了多项式f(x) g(x)的充要条件是：对于一个任意的a值，都有f(a) g(a)；或者两个多项式各同类项的系数对应相等。
待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程。使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决，要判断一个问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解。例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的数学表达形式，所以都可以用待定系数法求解。
使用待定系数法，它解题的基本步骤是：
第一步，确定所求问题含有待定系数的解析式；
第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程；
第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决。
如何列出一组含待定系数的方程，主要从以下几方面着手分析：
利用对应系数相等列方程；
由恒等的概念用数值代入法列方程；
利用定义本身的属性列方程；
利用几何条件列方程。
比如在求圆锥曲线的方程时，我们可以用待定系数法求方程：首先设所求方程的形式，其中含有待定的系数；再把几何条件转化为含所求方程未知系数的方程或方程组；最后解所得的方程或方程组求出未知的系数，并把求出的系数代入已经明确的方程形式，得到所求圆锥曲线的方程。
Ⅰ、再现性题组：
设f(x)＝ ＋m，f(x)的反函数f (x)＝nx－5，那么m、n的值依次为_____。
A. , －2 B. － ， 2 C. , 2 D. － ，－2
二次不等式ax ＋bx＋2>0的解集是(－ , )，则a＋b的值是_____。
A. 10 B. －10 C. 14 D. －14
在(1－x )（1＋x） 的展开式中，x 的系数是_____。
A. －297 B.－252 C. 297 D. 207
函数y＝a－bcos3x (b<0)的最大值为 ，最小值为－ ，则y＝－4asin3bx的最小正周期是_____。
与直线L：2x＋3y＋5＝0平行且过点A(1,-4)的直线L’的方程是_______________。
与双曲线x － ＝1有共同的渐近线，且过点(2,2)的双曲线的方程是____________。
【简解】1小题：由f(x)＝ ＋m求出f (x)＝2x－2m，比较系数易求，选C；
2小题：由不等式解集(－ , )，可知－ 、 是方程ax ＋bx＋2＝0的两根，代入两根，列出关于系数a、b的方程组，易求得a＋b，选D；
3小题：分析x 的系数由C 与(－1)C 两项组成，相加后得x 的系数，选D；
4小题：由已知最大值和最小值列出a、b的方程组求出a、b的值，再代入求得答案 ；
5小题：设直线L’方程2x＋3y＋c＝0，点A(1,-4)代入求得C＝10，即得2x＋3y＋10＝0；
6小题：设双曲线方程x － ＝λ，点(2,2)代入求得λ＝3，即得方程 － ＝1。
Ⅱ、示范性题组：
已知函数y＝ 的最大值为7，最小值为－1，求此函数式。
【分析】求函数的表达式，实际上就是确定系数m、n的值；已知最大值、最小值实际是就是已知函数的值域，对分子或分母为二次函数的分式函数的值域易联想到“判别式法”。
【解】 函数式变形为： (y－m)x －4 x＋(y－n)＝0， x∈R, 由已知得y－m≠0
∴ △＝(－4 ) －4(y－m)(y－n)≥0 即： y －(m＋n)y＋(mn－12)≤0 ①
不等式①的解集为(-1,7)，则－1、7是方程y －(m＋n)y＋(mn－12)＝0的两根，
