高中数学解题基本方法——定义法
所谓定义法,就是直接用数学定义解题。数学中的定理、公式、性质和法则等,都是由定义和公理推演出来。定义是揭示概念内涵的逻辑方法,它通过指出概念所反映的事物的本质属性来明确概念。
定义是千百次实践后的必然结果,它科学地反映和揭示了客观世界的事物的本质特点。简单地说,定义是基本概念对数学实体的高度抽象。用定义法解题,是最直接的方法,本讲让我们回到定义中去。
Ⅰ、再现性题组:
已知集合A中有2个元素,集合B中有7个元素,A∪B的元素个数为n,则______。
A. 2≤n≤9 B. 7≤n≤9 C. 5≤n≤9 D. 5≤n≤7
设MP、OM、AT分别是46°角的正弦线、余弦线和正切线,则_____。
A. MP
复数z =a+2i,z =-2+i,如果|z |< |z |,则实数a的取值范围是_____。
A. -11 C. a>0 D. a<-1或a>1
椭圆 + =1上有一点P,它到左准线的距离为 ,那么P点到右焦点的距离为_____。
A. 8 C. 7.5 C. D. 3
奇函数f(x)的最小正周期为T,则f(- )的值为_____。
A. T B. 0 C. D. 不能确定
正三棱台的侧棱与底面成45°角,则其侧面与底面所成角的正切值为_____。
【简解】1小题:利用并集定义,选B;
2小题:利用三角函数线定义,作出图形,选B;
3小题:利用复数模的定义得 < ,选A;
4小题:利用椭圆的第二定义得到 =e= ,选A;
5小题:利用周期函数、奇函数的定义得到f(- )=f( )=-f(- ),选B;
6小题:利用线面角、面面角的定义,答案2。
Ⅱ、示范性题组:
例1. 已知z=1+i, ① 设w=z +3 -4,求w的三角形式; ② 如果 =1-i,求实数a、b的值。(94年全国理)
【分析】代入z进行运算化简后,运用复数三角形式和复数相等的定义解答。
【解】由z=1+i,有w=z +3 -4=(1+i) +3 -4=2i+3(1-i)-4=-1-i,w的三角形式是 (cos +isin );
由z=1+i,有 = = =(a+2)-(a+b)i。
由题设条件知:(a+2)-(a+b)i=1+i;
根据复数相等的定义,得: ,
解得 。
【注】求复数的三角形式,一般直接利用复数的三角形式定义求解。利用复数相等的定义,由实部、虚部分别相等而建立方程组,这是复数中经常遇到的。
例2. 已知f(x)=-x +cx,f(2)=-14,f(4)=-252,求y=log f(x)的定义域,判定在( ,1)上的单调性。
【分析】要判断函数的单调性,必须首先确定n与c的值求出函数的解析式,再利用函数的单调性定义判断。
【解】 解得:
∴ f(x)=-x +x 解f(x)>0得:0
设
∵ x +x > , x +x > ∴ (x +x )( x +x )〉 × =1
∴ f(x )-f(x )>0即f(x)在( ,1)上是减函数
∵ <1 ∴ y=log f(x) 在( ,1)上是增函数。
A’ A
D
C’ C
O H
B’ B
【注】关于函数的性质:奇偶性、单调性、周期性的判断,一般都是直接应用定义解题。本题还在求n、c的过程中,运用了待定系数法和换元法。
例3. 如图,已知A’B’C’-ABC是正三棱柱,D是AC中点。