高中数学解题基本方法——配方法
配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简。何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。有时也将其称为“凑配法”。
最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。它主要适用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解，或者缺xy项的二次曲线的平移变换等问题。
配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a＋b) ＝a ＋2ab＋b ，将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如：
a ＋b ＝(a＋b) －2ab＝(a－b) ＋2ab；
a ＋ab＋b ＝(a＋b) －ab＝(a－b) ＋3ab＝(a＋ ) ＋（ b） ；
a ＋b ＋c ＋ab＋bc＋ca＝ [(a＋b) ＋(b＋c) ＋(c＋a) ]
a ＋b ＋c ＝(a＋b＋c) －2(ab＋bc＋ca)＝(a＋b－c) －2(ab－bc－ca)＝…
结合其它数学知识和性质，相应有另外的一些配方形式，如：
1＋sin2α＝1＋2sinαcosα＝（sinα＋cosα） ；
x ＋ ＝(x＋ ) －2＝(x－ ) ＋2 ；…… 等等。
Ⅰ、再现性题组：
1. 在正项等比数列{a }中，a sa +2a sa +a ža =25，则 a ＋a ＝_______。
2. 方程x ＋y －4kx－2y＋5k＝0表示圆的充要条件是_____。
A.
3. 已知sin α＋cos α＝1，则sinα＋cosα的值为______。
A. 1 B. －1 C. 1或－1 D. 0
4. 函数y＝log (－2x ＋5x＋3)的单调递增区间是_____。
A. （－∞, ] B. [ ,+∞) C. (－ , ] D. [ ,3)
5. 已知方程x +(a-2)x+a-1=0的两根x 、x ，则点P(x ,x )在圆x +y =4上，则实数a＝_____。
【简解】 1小题：利用等比数列性质a a ＝a ，将已知等式左边后配方（a ＋a ） 易求。答案是：5。
2小题：配方成圆的标准方程形式(x－a) ＋(y－b) ＝r ，解r >0即可，选B。
3小题：已知等式经配方成(sin α＋cos α) －2sin αcos α＝1，求出sinαcosα，然后求出所求式的平方值，再开方求解。选C。
4小题：配方后得到对称轴，结合定义域和对数函数及复合函数的单调性求解。选D。
5小题：答案3－ 。
Ⅱ、示范性题组：
例1. 已知长方体的全面积为11，其12条棱的长度之和为24，则这个长方体的一条对角线长为_____。
A. 2 B. C. 5 D. 6
【分析】 先转换为数学表达式：设长方体长宽高分别为x,y,z，则 ,而欲求对角线长 ，将其配凑成两已知式的组合形式可得。
【解】设长方体长宽高分别为x,y,z，由已知“长方体的全面积为11，其12条棱的长度之和为24”而得： 。
长方体所求对角线长为： ＝ ＝ ＝5
所以选B。
【注】本题解答关键是在于将两个已知和一个未知转换为三个数学表示式，观察和分析三个数学式，容易发现使用配方法将三个数学式进行联系，即联系了已知和未知，从而求解。这也是我们使用配方法的一种解题模式。
例2. 设方程x ＋kx＋2=0的两实根为p、q，若( ) +( ) ≤7成立，求实数k的取值范围。
【解】方程x ＋kx＋2=0的两实根为p、q，由韦达定理得：p＋q＝－k，pq＝2 ,
( ) +( ) ＝ ＝ ＝ ＝ ≤7， 解得k≤－ 或k≥ 。
又 ∵p、q为方程x ＋kx＋2=0的两实根， ∴ △＝k －8≥0即k≥2 或k≤－2
