高中数学知识归纳汇总
1.理解集合中元素的意义是解决集合问题的关键:元素是函数关系中自变量的取值?还是应变量的取值?还是曲线上的点?… ;
2.数形结合是解集合问题的常用方法:解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具,将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化,然后利用数形结合的思想方法解决;
3.(1)含n个元素的集合的子集数为2n,真子集数为2n-1;非空真子集的数为2n-2;
(2) 注意:讨论的时候不要遗忘了 的情况。
(3)
4. 是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集。
第二部分 函数与导数
1.映射:注意 ①第一个集合中的元素必须有象;②一对一,或多对一。
2.函数值域的求法:①分析法 ;②配方法 ;③判别式法 ;④利用函数单调性 ;
⑤换元法 ;⑥利用均值不等式 ; ⑦利用数形结合或几何意义(斜率、距离、绝对值的意义等);⑧利用函数有界性( 、 、 等);⑨导数法
3.复合函数的有关问题
(1)复合函数定义域求法:
① 若f(x)的定义域为[a,b],则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出;
② 若f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域,相当于x∈[a,b]时,求g(x)的值域。
(2)复合函数单调性的判定:
①首先将原函数 分解为基本函数:内函数 与外函数 ;
②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性;
③根据“同性则增,异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性。
注意:外函数 的定义域是内函数 的值域。
4.分段函数:值域(最值)、单调性、图象等问题,先分段解决,再下结论。
5.函数的奇偶性
⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件;
⑵ 是奇函数 ;
⑶ 是偶函数 ;
⑷奇函数 在原点有定义,则 ;(扬州二模填空题第五题再去想一想)
⑸在关于原点对称的单调区间内:奇函数有相同的单调性,偶函数有相反的单调性;
(6)若所给函数的解析式较为复杂,应先等价变形,再判断其奇偶性;
6.函数的单调性
⑴单调性的定义:
① 在区间 上是增函数 当 时有 ;
② 在区间 上是减函数 当 时有 ;
⑵单调性的判定
① 定义法:一般要将式子 化为几个因式作积或作商的形式,以利于判断符号;
② 导数法(见导数部分);
③ 复合函数法(见2 (2));
④ 图像法。
注:证明单调性主要用定义法和导数法。
7.函数的周期性
(1)周期性的定义:
对定义域内的任意 ,若有 (其中 为非零常数),则称函数 为周期函数, 为它的一个周期。
所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。如没有特别说明,遇到的周期都指最小正周期。
(2)三角函数的周期
① ;② ;③ ;
④ ;⑤ ;
⑶ 函数周期的判定
①定义法(试值) ②图像法 ③公式法(利用(2)中结论)
⑷ 与周期有关的结论
① 或 的周期为 ;
② 的图象关于点 中心对称 周期为2 ;
③ 的图象关于直线 轴对称 周期为2 ;
④ 的图象关于点 中心对称,直线 轴对称 周期为4 ;
8.基本初等函数的图像与性质
⑴幂函数: ( ;⑵指数函数: ;
⑶对数函数: ;⑷正弦函数: ;