高一必修四数学试题
高一年级第二学期期末统一考试数学试卷
（考试时间：100分钟 满分：100分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1. 与－263°角终边相同的角的集合是
A.
B.
C.
D.
2. 已知平面向量 ， ，且 ，则 的值为
A. 1 B. －1 C. 4 D. －4
3. 已知 是第二象限的角，且 ，则 的值是
A. B. C. D.
4. 等差数列 的前 项和为 ，已知 ， ，则 的值是
A. 30 B. 29 C. 28 D. 27
5. 不等式 的解集是
A. B.
C. D.
.6. 已知直线 过点（2，1），其中 是正数，则 的最大值为
A. B. C. D.
7. 为了得到函数 的图象，只要把函数 的图象上所有点的
A. 横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变），再把所得图象上所有的点向左平移 个单位长度。
B. 横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把所得图象上所有点的向左平移 个单位长度。
C. 向右平移 个单位长度，再把所得图象上所有的点横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变）
D. 向左平移 个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）
8. 已知点 的坐标满足条件 （ 为常数），若 的最小值为6，则 的值为
A. 9 B. －9 C. 6 D. －6
9. 设向量 满足 ， ， ，则 的最大值是
A. B. C. D. 1
10. 等差数列 的公差 ，且
，仅当 时，数列 的前 项和 取得最大值，则首项 的取值范围是
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分。把答案填在题中横线上。
11. 由正数组成的等比数列 中， ， ，则 __________。
12. 已知 ，则 的值为__________。
13. 已知点A（－2，2），B（4，－2），则线段AB的垂直平分线的方程为__________。
14. 如图，一艘船以20千米/小时的速度向正北航行，船在A处看见灯塔B在船的东北方向，1小时后船在C处看见灯塔B在船的北偏东75°的方向上，这时船与灯塔的距离BC等于__________千米。
15. 若直线 的倾斜角为钝角，则实数 的取值范围是__________。
16. 已知P，Q为△ABC所在平面内的两点，且满足
，则 _____。
三、解答题：本大题共4小题，共36分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17. （本小题满分8分）
在△ABC中， 分别是角A，B，C的对边， ，且 。
（I）求 的值及△ABC的面积；
（II）若 ，求角C的大小。
18. （本小题满分8分）
已知 为等比数列， ， ， 为等差数列 的前 项和， ， 。
（I）求 和 的通项公式；
（II）设 ，求 。
19. （本小题满分10分）
已知函数 ， 。
（I）求 的最小正周期和值域；
（II）若 为 的一个零点，求 的值。
20. （本小题满分10分）
已知数列 中， ，且 （ ）。
（I）求 ， 的值及数列 的通项公式；
（II）令 ，数列 的前 项和为 ，试比较 与 的大小；
（III）令 ，数列 的前 项和为 ，求证：对任意 ，都有 。
【试题答案】
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
1. D 2. D 3. D 4. C 5. A 6. C 7. A 8. B 9. B 10. C
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分。
11. 4 12. 13. 14. 15. （－2，0）
16.
三、解答题：本大题共4小题，共36分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17. （本小题满分8分）
解：（I）因为 ，所以 ，所以 。（2分）
又 ，所以 。（3分）
所以 。
即△ABC的面积为14。（5分）
（II）因为 ，且 ，所以 。
又 ，由 ，解得 （6分）
所以 。
因为 ，所以 。（8分）
18. （本小题满分8分）
解：（I）由 ， ，可得 。
所以 的通项公式 （2分）
由 ， ，可得 。
所以 的通项公式 。（5分）
（II） ①
②
①－②得： （7分）
整理得： （8分）
19. （本小题满分10分）
解：（I） （2分）
，（4分）
所以 的最小正周期为 。（5分）
的值域为 （6分）
（II）由 得 ，
又由 得 。
因为 ，所以 。（8分）
此时，
（10分）
20. （本小题满分10分）
（I）解：当 时， ，（1分）
当 时， 。（2分）
因为 ，所以 。（3分）
当 时，由累加法得 ，
因为 ，所以 时，有 。
即 。
又 时， ，
故 。（5分）
（II）解： 时， ，则 。
记函数 ，
所以 。
则 0。
所以 。（7分）
由于 ，此时 ；
，此时 ；
，此时 ；
由于 ，故 时， ，此时 。
综上所述，当 时， ；当 时， 。（8分）
（III）证明：对于 ，有 。
当 时， 。
所以当 时，
。
且 。
故对 ， 得证。（10分）
