函数与导数的交汇解题策略
【典例分析】
题型一 导函数与原函数图象之间的关系
如果原函数定义域内可导，则原函数的图象f(x)与其导函数f¢(x)的图象有密切的关系：
1．导函数f¢(x)在x轴上、下方图象与原函数图象上升、下降的对应关系：
（1）若导函数f¢(x)在区间D上恒有f¢(x)＞0，则f(x)在区间D上为增函数，由此进一步得到导函数f¢(x)图象在x轴上方的图象对应的区间D为原函数图象中的上升区间D；
（2）若导函数f¢(x)在区间D上恒有f¢(x)＜0，则f(x)在区间D上为减函数，由此进一步得到导函数f¢(x)图象在x轴下方的图象对应的区间为原函数图象中的下降区间.
2．导函数f¢(x)图象的零点与原函数图象的极值点对应关系：导函数f¢(x)图象的零点是原函
数的极值点.如果在零点的左侧为正，右侧为负，则导函数的零点为原函数的极大值点；
如果在零点的左侧为负，右侧为正，则导函数的零点为原函数的极小值点.
【例1】 如果函数y＝f(x)的图象如右图，那么导函数y＝f¢(x)的图象可能是 （ ）
【分析】 根据原函数y＝f(x)的图象可知，f(x)有在两个上升区间，有两个下降区间，且第一个期间的上升区间，然后相间出现，则反映在导函数图象上就是有两部分图象在x轴的上方，有两部分图象在x轴的下方，且第一部分在x轴上方，然后相间出现.
【解】 由原函数的单调性可以得到导函数的正负情况依次是正→负→正→负,只有答案A满足.
【点评】 本题观察图象时主要从两个方面：(1)观察原函数f(x)的图象哪些的上升区间？哪些下降区间？；(2)观察导函数f¢(x)的图象哪些区间在大于零的区间？哪些部分昌小于零的区间？
【例2】 设f¢(x)是函数f(x)的导函数，y＝f¢(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的图象最有
可能是 （ ）
【分析】 先观察所给出的导函数y＝f¢(x)的图象的正负区间，再观察所给的选项的增减区间，二者结合起来即可作出正确的选择.本题还可以通过确定导函数y＝f¢(x)的图象零点0、2对应原函数的极大或极小值点来判断图象.
【解法1】 由y＝f¢(x)的图象可以清晰地看出，当x∈(0,2)时，y＝f¢(x)＜0，则f(x)为减函数，只有C项符合，故选C.
【解法2】 在导函数f¢(x)的图象中，零点0的左侧函数值为正，右侧为负，由可知原函数f(x)在x＝0时取得极大值.又零点2的左侧为负，右侧为正，由此可知原函数f(x)在x＝0时取得极小值，只有C适合，故选C.
【点评】 (1)导函数值的符号决定函数的单调性为“正增、负减”，导函数的零点确定原函数的极值点；(2)导函数的增减性与函数增减性之间没有直接的关系，但它刻画函数图象上的点的切线斜率的变化趋势.
题型二 利用导数求解函数的单调性问题
若f(x)在某区间上可导，则由f¢(x)＞0(f¢(x)＜0)可推出f(x)为增（减）函数，但反之则不一定，如：函数f(x)＝x3在R上递增，而f¢(x)≥0.f(x)在区间D内单调递增(减)的充要条件是f¢(x0)≥0(≤0)，且f¢(x)在(a，b)的任意子区间上都不恒为零.利用导数求解函数单调性的主要题型：(1)根据函数解析式，求函数的单调区间；(2)根据函数的单调性函数求解参数问题；(3)求解与函数单调性相关的其它问题，如函数图象的零点、不等式恒成立等问题.
【例3】 (08全国高考)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋x＋1，a∈R．(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调区间；(Ⅱ)设函数f(x)在区间(－，－)内是减函数，求a的取值范围．
