数列与不等式的交汇典型试题分析
【典例分析】
题型一 求有数列参与的不等式恒成立条件下参数问题
求得数列与不等式绫结合恒成立条件下的参数问题主要两种策略：(1)若函数f(x)在定义域为D，则当x∈D时，有f(x)≥M恒成立Ûf(x)min≥M；f(x)≤M恒成立Ûf(x)max≤M；(2)利用等差数列与等比数列等数列知识化简不等式，再通过解不等式解得.
【例1】 等比数列{an}的公比q＞1，第17项的平方等于第24项，求使a1＋a2＋…＋an＞＋＋…＋恒成立的正整数n的取值范围.
【分析】 利用条件中两项间的关系，寻求数列首项a1与公比q之间的关系，再利用等比数列前n项公式和及所得的关系化简不等式，进而通过估算求得正整数n的取值范围.
【解】 由题意得：(a1q16)2＝a1q23，∴a1q9＝1.
由等比数列的性质知：数列{}是以为首项，以为公比的等比数列，要使不等式成立，
则须＞，把a＝q-18代入上式并整理，得q-18(qn－1)＞q(1－)，
qn＞q19，∵q＞1，∴n＞19，故所求正整数 的取值范围是n≥20.
【点评】 本题解答数列与不等式两方面的知识都用到了，主要体现为用数列知识化简，用不等式知识求得最后的结果.本题解答体现了转化思想、方程思想及估算思想的应用.
【例2】 （08·全国Ⅱ）设数列{an}的前 项和为Sn．已知a1＝a，an+1＝Sn＋3n，n∈N*．(Ⅰ)设bn＝Sn－3n，求数列{bn}的通项公式；（Ⅱ）若an+1≥an，n∈N*，求a的取值范围．
【分析】 第（Ⅰ）小题利用Sn与an的关系可求得数列的通项公式；第（Ⅱ）小题将条件an+1≥an转化为关于n与a的关系，再利用a≤f(n)恒成立等价于a≤f(n)min求解．
【解】 (Ⅰ)依题意，Sn+1－Sn＝an+1＝Sn＋3n，即Sn+1＝2Sn＋3n，
由此得Sn+1－3 n+1＝2(Sn－3n)．
因此，所求通项公式为bn＝Sn－3n＝(a－3)2 n-1，n∈N*, ①
(Ⅱ)由①知Sn＝3n＋(a－3)2 n-1，n∈N*，
于是，当n≥2时，an＝Sn－Sn-1＝3n＋(a－3)2 n-1－3n-1－(a－3)2 n-2＝2×3n-1＋(a－3)2 n-2，
an+1－an＝4×3 n-1＋(a－3)2 n-2＝2 n-2·[12·()n-2＋a－3]，
当n≥2时，an+1≥an，即2 n-2·[12·()n-2＋a－3]≥0，12·()n-2＋a－3≥0，∴a≥－9，
综上，所求的a的取值范围是[－9，＋∞]．
【点评】 一般地，如果求条件与前n项和相关的数列的通项公式，则可考虑Sn与an的关系求解.本题求参数取值范围的方法也一种常用的方法，应当引起重视.
题型二 数列参与的不等式的证明问题
此类不等式的证明常用的方法：(1)比较法，特别是差值比较法是最根本的方法；(2)分析法与综合法，一般是利用分析法分析，再利用综合法分析；(3)放缩法，主要是通过分母分子的扩大或缩小、项数的增加与减少等手段达到证明的目的.
【例3】 已知数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，a3＝7，S4＝24．(Ⅰ)求数列{an}的通项公式；(Ⅱ)设p、q都是正整数，且p≠q，证明：Sp+q＜(S2p＋S2q)．
【分析】 根据条件首先利用等差数列的通项公式及前n项公式和建立方程组即可解决第(Ⅰ)小题；第(Ⅱ)小题利用差值比较法就可顺利解决.
【解】 （Ⅰ）设等差数列{an}的公差是d，依题意得，，解得，
∴数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝2n＋1.
（Ⅱ）证明：∵an＝2n＋1，∴Sn＝＝n2＋2n．
2Sp+q－(S2p＋S2q)＝2[(p＋q)2＋2(p＋q)]－(4p2＋4p)－(4q2＋4q)＝－2(p－q)2，
