数列与不等式的交汇题型专项训练试题及答案(2)
20．已知数列{an}中a1＝2，an+1＝(－1)( an＋2)，n＝1，2，3，….
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{an}中b1＝2，bn+1＝，n＝1，2，3，….证明：＜bn≤a4n-3，n＝1，2，3，…
21．已知二次函数y＝f(x)的图像经过坐标原点，其导函数为f¢(x)＝6x－2，数列{an}的前n项和为Sn，点(n，Sn)(n∈N*)均在函数y＝f(x)的图像上.（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn＝，Tn是数列{bn}的前n项和，求使得Tn＜对所有n∈N*都成立的最小正整数m；
22．数列 满足 ， （ ）， 是常数．（Ⅰ）当 时，求 及 的值；（Ⅱ）数列 是否可能为等差数列？若可能，求出它的通项公式；若不可能，说明理由；（Ⅲ）求 的取值范围，使得存在正整数 ，当 时总有 ．
【专题训练】参考答案
一、选择题
1．B 【解析】a4a8＝(a1＋3d)(a1＋7d)＝a12＋10a1d＋21d2，a62＝(a1＋5d)2＝a12＋10a1d＋25d2，故≤.
2．D 【解析】设其公比为q,则bn－cn＝an(q－1)(1－q2)＝－an(q－1)2(q＋1)，当q＝1时，bn＝cn ，当q＞0，且q≠1时，bn＜cn，故bn≤cn.
3．B 【解析】因为q≠1，b1＞0，b11＞0，所以b1≠b11，则a6＝＝＞＝b6.
4．B 【解析】因数列为等差数列，an＝Sn－Sn-1＝2n－10，由5＜2k－10＜8，得到k＝8.
5．A 【解析】S4a5－S5a4 ＝(a1＋a2＋a3＋a4)a4q－(a1＋a2＋a3＋a4＋a5)a4＝－a1a4＝－a12q3＜0，∴S4a5＜S5a4．
6．D 【解析】由Sn＝，得f(n)＝＝＝≤＝，当n＝，即n＝8时取等号，即f(n)max＝f(8)＝．
7．B 【解析】由已知y＝－(sinx－)2＋1，且sinx＞，y＜1，所以当sinx＝1时，y有最小值，无最大值.
8．D 【解】∵等比数列{an}中a2＝1，∴S3＝a1＋a2＋a3＝a2(＋1＋q)＝1＋q＋.∴当公比q＞0时，S3＝1＋q＋≥1＋2＝3，当公比q＜0时，S3＝1－(－q－)≤1－2＝－1，
∴S3∈(－∞，－1]∪[3，＋∞).
9．B 【解析】b是1－a和1＋a的等比中项，则3b2＝1－a2Ûa2＋3b2＝1，令a＝cosθ，b＝sinθ，θ∈(0，2π)，所以a＋3b＝cosθ＋inθ＝2sin(θ＋)≤2.
10．A 【解析】当a1＜0，且0＜q＜1时，数列为递增数列，但当数列为递增数列时，还存在另一情况a1＞0，且q＞1，故选A.
11．C 【解析】由＜－1，得＜0Û＜0Û＜0Û＜0，则要使Sn取得最小正值必须满足S19＞0，且S20＜0，此时n＝19.
12．C 【解析】f(x)是定义在R上恒不为零的函数，对任意实数x、y∈R，都有f(x)f(y)＝f(x＋y)，a1＝，an＝f(n)(n∈N*)，an+1＝f(n＋1)＝f(1)f(n)＝an，∴Sn＝＝1－()n.则数列{an}的前 项和的取值范围是[，1).
二、填空题
13．2 【解析】由a4－a2＝8，可得公差d＝4，再由a3＋a5＝26，可得a1＝1，故Sn＝n＋2n(n－1)＝2n2－n，∴Tn＝，要使得Tn≤M，只需M≥2即可，故M的最小值为2，答案：2
14．(－1，0]∪(0，] 【解析】≤Þq≤，但|q|＜1，且q≠0，故q∈(－1，0]∪(0，].
15．4 【解析】∵＝≥＝4.
16．D 【解析】对于①：∵S8－S3＝a4＋a5＋a6＋a7＋a8＝5a6＝0，∴S5＝S6，又d＜0，S5＝S6为最大，故A正确；对于②：根据等差中项知正确；对于③：∵d＞0，点(n，Sn)分布在开口向上的抛物线，故{Sn}中一定有最小的项，故③正确；而ak－ak+1＝－d，ak－ak-1＝d，且d≠0，故④为假命题.
