数学的创新能改变人们的哲学观念
哲学其实不神秘，不过是人们对世界的一些根本看法而已，每个人都有自己的哲学观念，只是概括水平和系统性不同。这个世界的根本是物质还是精神？人怎样才能认识世界？人活着的意义是什么？数学的根本特点是什么？数学新课程理念的根本依据是什么？这些都是哲学性的问题。
人们的哲学观念会随着时代改变而改变——数学的创新则能推动这种改变，比如下面的几个故事。
故事1：算术计算的法则不是绝对真理，会变。
古人认为算术计算的法则是绝对真理：古希腊的毕达哥拉斯相信“宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比”；伟大的古希腊哲学家和教育家柏拉图则说“整个算术和计算……就是我们所追求的那种学问，……哲学家……必须是个算术家。……算术……迫使灵魂用抽象的数来进行推理，而厌弃在辩论中引入可见和可捉摸的对象”（克莱因《古今数学思想》第1册第37页和49-50页）；古中国人（也许还包括您）也有对数和算术的某种迷信，老子说“道生一，一生二，二生三，三生万物”，以及对5的迷信（五行说）、对6的迷信（六六大顺）、对8的迷信（周易八卦）、对9的迷信（九九归一）、对10的迷信（十全十美）……等等。
但这些的确是迷信，比如1+1吧，随着数学创造的增加，其法则和计算结果就都在变：
最初人们只知道正数和零，于是1+1绝对等于2；后来创造了负数，1+1的结果就增加了一种，正1加负1等于零；再后来又创造了复数，于是又增加了一种新结果，往东走1公里再往南走1公里，合计是往东南方向走了√2公里；不久前还创造了集合运算（布尔代数），1个非空集合加另1个非空集合（求并集）有有三种可能结果——等于2（并集元素是两集合元素汇总）、等于1（并集元素就是其中某一集合的元素）、等于1点几（并集元素是两集合元素总体的一部分，重复的各元素只保留一个）……
可见：从哲学上说，没什么绝对真理，真理都是相对的；从数学教学上说，数学模型是多样化的，应支持和鼓励学生自主选择。
故事2：那么欧氏几何是绝对真理吗？
中小学几何都属于欧氏几何，没人不赞赏它的清晰、严谨，但它是绝对真理吗？
古希腊欧几里得创立的几何体系权威性十足，后人（也许还包括您）对它极为崇拜，相信“数学定律和欧几里得几何一样，是宇宙设计中所固有的”，“物质世界必然是欧几里得式的”（《古今数学思想》第3册第278页）。
其实不然！历史上一直有数学家怀疑欧氏几何的绝对正确，尤其19世纪创立的非欧几何更打破了对欧氏几何的迷信：第一，罗巴切夫斯基和黎曼的另两种非欧几何体系同样合理！第二，事实上欧氏几何的适应面也不大——在地球上尤其是宇宙空间里到处存在的曲面上都非得用非欧几何不可！
可见：从一般哲学来说，没什么绝对真理，真理都是相对的；从数学哲学来说，数学其实就是一群方法（数学思想方法），只要能解决问题，学生喜欢用哪种就用哪种。
故事3：一定的原因必然导致一定的结果吗？
数学头几千年的内容都是必然性数学，比如算术、代数和欧氏几何，在给定的条件下，算法确定、结果唯一。至今中小学数学的内容仍然绝大部分是这种必然性数学。
这种情形无疑会熏陶出古人的决定论观念：一定的原因必然导致一定的结果——我估计今天绝大多数人仍持这种观念。
其实历史上早有许多学者怀疑决定论，而源起于16世纪的概率论（它超越了必然性数学而开辟了或然性数学）则极大支持了这种怀疑：看穿了的话，世界上的事情几乎都不是必然性事件而是或然性事件——即使明白它的原因，其结果也有多种可能，只不过各自发生的概率不同。举个最通俗的例子：太阳明早必然升起吗？非也！用宇宙学的时间尺度来看，原本没有什么太阳和地球，而它们后来的生成则大含偶然性，遗传学又告诉我们人类的形成也饱含偶然性，所以 “您看见明天太阳照样升起”这件事从宏观上看还是个或然性事件——还何况说不定今晚就有一个超大陨石把地球撞没了让你再也看不到太阳了呢！
于是，今天的科学家、哲学家不得不接受“世界是或然性的”这一新观念，不再迷信所谓的“必然规律”，而提出“统计规律”的新概念——任何“规律”的作用结果都有多种可能，各种可能的发生并非必然而只有一定的概率。
用这种哲学观念来指导数学教学，我们就能更深刻地理解，为什么新课标力主让学生自主、探究和创造，而反对死记硬背定理、公式。
故事4：掌握了演绎论证思想方法就足以学好数学吗？
古希腊人本来就有浓烈的理性精神，这催生了公理化的、用演绎论证一而贯之的欧氏几何，欧氏几何又反过来强化了他们的理性精神，促成了唯理论在西方哲学史上的长期统治地位。
理性精神强烈本没错，但过分了就会步入歧途——否定、排斥感性与直觉的力量。幸而20世纪的数学创新来了个纠偏。
20世纪数学最重大的研究是寻求整个数学的基础，企图为它建立一劳永逸的严密体系，而很多大数学家都主张建立公理化的、靠演绎逻辑维系的体系。这一研究成就巨大，但最终却失望了：德国数学家哥德尔证明，任何演绎逻辑系统，要么不可能完整、要么内部会出现自己证明不了的命题！
这意味着：第一，哲学上的唯理论有片面性，要真正认识复杂至极的世界，光靠理性不够，还要靠感性；第二，数学不能只靠演绎思维，还要靠归纳思维、类比思维及感性意义的直觉——于是你能更深刻地理解，新数学课标之所以对演绎论证、归纳、类比、数感、感悟和领悟等等一并提倡，是有深刻的现代哲学依据的。
