函数中的综合问题解析(3)
(一)准确、深刻理解函数的有关概念
概念是数学的基础,而函数是数学中最主要的概念之一,函数概念贯穿在中学代数的始终.数、式、方程、函数、排列组合、数列极限等是以函数为中心的代数.近十年来,高考试题中始终贯穿着函数及其性质这条主线.
(二)揭示并认识函数与其他数学知识的内在联系.函数是研究变量及相互联系的数学概念,是变量数学的基础,利用函数观点可以从较高的角度处理式、方程、不等式、数列、曲线与方程等内容.在利用函数和方程的思想进行思维中,动与静、变量与常量如此生动的辩证统一,函数思维实际上是辩证思维的一种特殊表现形式.
所谓函数观点,实质是将问题放到动态背景上去加以考虑.高考试题涉及5个方面:(1)原始意义上的函数问题;(2)方程、不等式作为函数性质解决;(3)数列作为特殊的函数成为高考热点;(4)辅助函数法;(5)集合与映射,作为基本语言和工具出现在试题中.
(三)把握数形结合的特征和方法
函数图象的几何特征与函数性质的数量特征紧密结合,有效地揭示了各类函数和定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等基本属性,体现了数形结合的特征与方法,为此,既要从定形、定性、定理、定位各方面精确地观察图形、绘制图形,又要熟练地掌握函数图象的平移变换、对称变换.
(四)认识函数思想的实质,强化应用意识
函数思想的实质就是用联系与变化的观点提出数学对象,抽象数量特征,建立函数关系,求得问题的解决.纵观近几年高考题,考查函数思想方法尤其是应用题力度加大,因此一定要认识函数思想实质,强化应用意识.
参考答案
难点磁场
(1)证明:令x=y=0,得f(0)=0
令y=-x,得f(0)=f(x)+f(-x),即f(-x)=-f(x)
∴f(x)是奇函数
(2)解:1°,任取实数x1、x2∈[-9,9]且x1<x2,这时,x2-x1>0,f(x1)-f(x2)=f[(x1-x2)+x2]-f(x2)=f(x1-x2)+f(x2)-f(x1)=-f(x2-x1)
因为x>0时f(x)<0,∴f(x1)-f(x2)>0
∴f(x)在[-9,9]上是减函数
故f(x)的最大值为f(-9),最小值为f(9).
而f(9)=f(3+3+3)=3f(3)=-12,f(-9)=-f(9)=12.
∴f(x)在区间[-9,9]上的最大值为12,最小值为-12.
歼灭难点训练
一、1.解析:分类讨论当a>1时和当0<a<1时.
答案:C
2.解析:用特值法,根据题意,可设f(x)=x,g(x)=|x|,又设a=2,b=1,
则f(a)=a,g(a)=|a|,f(b)=b,g(b)=|b|,f(a)-f(b)=f(2)-f(-1)=2+1=3.
g(b)-g(-a)=g(1)-g(-2)=1-2=-1.∴f(a)-f(-b)>g(1)-g(-2)=1-2=-1.
又f(b)-f(-a)=f(1)-f(-2)=1+2=3.
g(a)-g(-b)=g(2)-g(1)=2-1=1,∴f(b)-f(-a)=g(a)-g(-b).
即①与③成立.
答案:C
二、3.解析:设2x=t>0,则原方程可变为t2+at+a+1=0 ①
方程①有两个正实根,则
解得:a∈(-1,2-2 .
答案:(-1,2-2
三、4.解:(1)当a=0时,函数f(-x)=(-x)2+|-x|+1=f(x),此时f(x)为偶函数;当a≠0时,f(a)=a2+1,f(-a)=a2+2|a|+1,f(-a)≠f(a),f(-a)≠-f(a).此时函数f(x)既不是奇函数也不是偶
函数.
(2)①当x≤a时,函数f(x)=x2-x+a+1=(x- )2+a+ ,若a≤ ,则函数f(x)在(-∞,a 上单调递减,从而,函数f(x)在(-∞,a 上的最小值为f(a)=a2+1.