函数中的综合问题解析(4)
若a> ,则函数f(x)在(－∞,a 上的最小值为f( )= +a,且f( )≤f(a).
②当x≥a时，函数f(x)=x2+x－a+1=(x+ )2－a+ ;当a≤－ 时，则函数f(x)在［a,+∞ 上的最小值为f(－ )= －a,且f(－ )≤f(a).若a>－ ,则函数f(x)在［a,+∞)上单调递增，从而，函数f(x)在［a,+∞］上的最小值为f(a)=a2+1.
综上，当a≤－ 时，函数f(x)的最小值是 －a,当－ ＜a≤ 时，函数f(x)的最小值是a2+1;当a> 时，函数f(x)的最小值是a+ .
5.(1)证明：由 得f(x)的定义域为(－1，1)，易判断f(x)在(－1，1)内是减函数.
(2)证明：∵f(0)= ,∴f-－1( )=0,即x= 是方程f-－1(x)=0的一个解.若方程f-－1(x)=0还有另一个解x0≠ ,则f-－1(x0)=0,由反函数的定义知f(0)=x0≠ ,与已知矛盾，故方程f-－1(x)=0有惟一解.
(3)解：f［x(x－ )］＜ ,即f［x(x－ )］＜f(0).
6.证明：对f(x)+f(y)=f( )中的x,y,令x=y=0,得f(0)=0,再令y=－x,又得f(x)+f(－x)=f(0)=0,即f(－x)=－f(x),∴f(x)在x∈(－1,1)上是奇函数.设－1＜x1＜x2＜0,则f(x1)－f(x2)=f(x1)+f(－x2)=f( ),∵－1＜x1＜x2＜0,∴x1－x2＜0,1－x1x2>0.∴ ＜0,于是由②知f( )>0,从而f(x1)－f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),故f(x)在x∈(－1,0)上是单调递减函数.根据奇函数的图象关于原点对称，知f(x)在x∈(0,1)上仍是递减函数，且f(x)＜0.
7.解：(1)因污水处理水池的长为x米，则宽为 米，总造价y=400(2x+2× )+248× ×2+80×200=800(x+ )+1600,由题设条件
解得12.5≤x≤16,即函数定义域为［12.5，16］.
(2)先研究函数y=f(x)=800(x+ )+16000在［12.5,16］上的单调性，对于任意的x1,x2∈［12.5,16］,不妨设x1＜x2,则f(x2)－f(x1)=800［(x2－x1)+324( )］=800(x2－x1)(1－ ),∵12.5≤x1≤x2≤16.∴0＜x1x2＜162＜324,∴ >1,即1－ ＜0.又x2－x1>0,∴f(x2)－f(x1)＜0,即f(x2)＜f(x1),故函数y=f(x)在［12.5,16］上是减函数.∴当x=16时，y取得最小值，此时，ymin=800(16+ )+16000=45000(元)， =12.5(米）
综上，当污水处理池的长为16米，宽为12.5米时，总造价最低，最低为45000元.
8.解：∵f(x)是奇函数，且在(0,+∞)上是增函数，∴f(x)在(－∞,0)上也是增函数.
又f(1)=0,∴f(－1)=－f(1)=0,从而，当f(x)＜0时，有x＜－1或0＜x＜1,
则集合N={m|f［g(θ)］＜θ＝ ={m|g(θ)＜－1或0＜g(θ)＜1 ,
∴M∩N={m|g(θ)＜－1 .由g(θ)＜－1,得cos2θ>m(cosθ－2)+2,θ∈［0, ］,令x=cosθ,x∈［0,1］得：x2>m(x－2)+2,x∈［0,1］，令①：y1=x2,x∈［0,1］及②y2=m(m－2)+2,显然①为抛物线一段，②是过(2，2)点的直线系，在同一坐标系内由x∈［0,1］得y1>y2.∴m>4－2 ,故M∩N={m|m>4－2 }.
