函数中的综合问题解析
函数综合问题是历年高考的热点和重点内容之一，一般难度较大，考查内容和形式灵活多样.本节课主要帮助考生在掌握有关函数知识的基础上进一步深化综合运用知识的能力，掌握基本解题技巧和方法，并培养考生的思维和创新能力.
●难点磁场
(★★★★★)设函数f(x)的定义域为R，对任意实数x、y都有f(x+y)=f(x)+f(y),当x>0时f(x)<0且f(3)=－4.
(1)求证：f(x)为奇函数；
(2)在区间［－9，9］上，求f(x)的最值.
●案例探究
［例1］设f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x=1对称，对任意x1、x2∈［0, ］,都有f(x1+x2)=f(x1)·f(x2),且f(1)=a>0.
(1)求f( )、f( );
(2)证明f(x)是周期函数；
(3)记an=f(n+ ),求
命题意图：本题主要考查函数概念，图象函数的奇偶性和周期性以及数列极限等知识，还考查运算能力和逻辑思维能力.
知识依托：认真分析处理好各知识的相互联系，抓住条件f(x1+x2)=f(x1)·f(x2)找到问题的突破口.
错解分析：不会利用f(x1+x2)=f(x1)·f(x2)进行合理变形.
技巧与方法：由f(x1+x2)=f(x1)·f(x2)变形为 是解决问题的关键.
(1) 解：因为对x1,x2∈［0, ］,都有f(x1+x2)=f(x1)·f(x2),所以f(x)= ≥0,
x∈［0,1］
又因为f(1)=f( + )=f( )·f( )=［f( )］2
f( )=f( + )=f( )·f( )=［f（ ）］2
又f(1)=a>0
∴f( )=a ,f( )=a
(2)证明：依题意设y=f(x)关于直线x=1对称，故f(x)=f(1+1－x),即f(x)=f(2－x),x∈R.
又由f(x)是偶函数知f(－x)=f(x),x∈R
∴f(－x)=f(2－x),x∈R.
将上式中－x以x代换得f(x)=f(x+2)，这表明f(x)是R上的周期函数，且2是它的一个
周期.
(3)解：由(1)知f(x)≥0,x∈［0,1］
∵f( )=f(n· )=f( +(n－1) )=f( )·f((n－1)· )
=……
=f( )·f( )·……·f( )
=［f( )］n=a
∴f( )=a .
又∵f(x)的一个周期是2
∴f(2n+ )=f( ),因此an=a
∴
［例2］甲、乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速驶到乙地，速度不得超过c千米/小时，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度v(km/h)的平方成正比，比例系数为b,固定部分为a元.
(1)把全程运输成本y(元)表示为v(km/h)的函数，并指出这个函数的定义域；
(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？
命题意图：本题考查建立函数的模型、不等式性质、最值等知识，还考查学生综合运用所学数学知识解决实际问题的能力.
知识依托：运用建模、函数、数形结合、分类讨论等思想方法.
错解分析：不会将实际问题抽象转化为具体的函数问题，易忽略对参变量的限制条件.
技巧与方法：四步法：(1)读题；(2)建模；(3)求解；(4)评价.
解法一：(1)依题意知，汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为 ,全程运输成本为y=a· +bv2· =S( +bv)
∴所求函数及其定义域为y=S( +bv),v∈(0,c .
(2)依题意知，S、a、b、v均为正数
