圆的一般方程教案
教学目标
(1)在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心半径．掌握方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0表示圆的条件．
(2)能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程．
(3)理解并能初步应用圆系的知识去处理问题．
教学重点和难点
重点：圆的一般方程的代数特征，一般方程与标准方程间的互化，根据已知条件确定方程中的系数，D、E、F．
难点：圆系的理解和应用．
教学过程设计
(一)教师讲授：
请同学们看出圆的标准方程：
(x－a)2＋(y－b)2=r2，圆心(a，b)，半径r．
把圆的标准方程展开，并整理：
x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2=0．
我们把它看成下面的形式：
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0 ①
这个方程是圆的方程．
反过来给出一个形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0的方程，它表示的曲线是圆．
②(配方过程由学生去完成)这个方程是不是表示圆？
(1)当D2＋E2－4F＞0时，方程②表示
(2)当D2＋E2－4F=0时，方程②表示
(3)当D2＋E2－4F＜0时，方程②不表示任何图形
∴当D2＋E2－4F＞0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0．
做圆的一般方程．
现在我们来看圆的一般方程的特点：(启发学生归纳)
(1)①x2和y2的系数相同，不等于0．
②没有xy这样的二次项．
同学们不难发现，x2和y2的系数相同，不等于0．且没有xy这样的二次项，是方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0表示圆的必要条件．但不是充分条件．
(2)圆的一般方程中有三个特定的系数D、E、F，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了．
(二)研究问题1，求过三点O(0，0)，M1(1，1)，M2(4，2)的圆的方程，并求这个圆的半径和圆心坐标．
[解法一]设所求圆的方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0．
把已知三点的坐标代入，得三个方程，解这三个方程组成的方程组
∴所求圆的方程为x2＋y2－8x＋6y=0．
[解法二]先求OM1和OM2的中垂线：
y－1=(－2)(x－2) 2x＋y=5
∴所求圆的方程为，(x－4)2＋(y＋3)2=25．
[分析]设动点M(x，y)，|MO|、|MA|都可表示出．
解 设曲线上的动点为M(x，y)．
化简得 x2＋y2＋2x－3=0
配方 (x＋1)2＋y2=4．
∴所求的轨迹是以C(－1，0)为圆心，2为半径的圆．
研究问题3，自P0(x0，y0)作圆x2＋y2=r2的两切线，切点分别为P1、P2，求证：P1P2所在直线的方程为x0x＋y0y=r2．
[分析]自P0(x0，y0)作图x2＋y2=r2的两切线，切点分别为P1、P2如具体去求P1、P2的坐标，则运动量是非常大的．为此我们要研究较简单的办法．
P0P1、P0P2是圆O的两条切线，∠OP1P0=∠OP2P0=90°，则O、P1、P0、P2四点共圆，P1、P2为两个圆的交点，为此我们从两个圆的交点入手．
即 x2＋y2－x0x－y0y=0．
把(2)代入(1)：x0x＋y0y=r2．
∴P1P2所在直线的方程为x0x＋y0y=r2．
这里同学们可能有点不太明白，为什么由方程(1)和(2)变出的关系式x0x＋y0y=r2就是过两圆交点的直线．
请同学们回忆一下，我们在前面研究两条曲线交点的有关问题时，研究过这样一个定理．(课本复习题七，24题)“两条曲线的方程是f1(x，y)=0，和f2(x，y)=0，它们的交点是P(x0，y0)．求证：方程f1(x，y)＋λf2(x，y)=0的曲线也经过点P，这里λ是任意实数”．
