打造有品质的数学课堂
——数学建模的理论与实践探讨
《义务教育数学课程标准》强调：“从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进一步发展。”但是，课程改革几年来，广大数学教师对数学建模在认识上还知之甚少或重视不够，在方法上还难以施展甚至一筹莫展。因此，颇有必要对数学建模的理论与实践展开全面研讨与广泛交流。
一、数学建模的重要意义
把一个实际问题抽象为用数学符号表示的数学问题，即称为数学模型。数学模型能解释特定现象的显示状态，能预测对象的未来状况，能提供处理对象的最有效决策或控制。在小学数学教育中开展数学建模的启蒙教育，能培养学生对实际问题的浓厚兴趣和进行科学探究的强烈意识，培养学生不断进取和不怕困难的良好学风，培养学生分析问题和解决问题的较强能力，培养学生敏锐的洞察力、丰富的想象力和持久的创造力，培养学生的团结协作精神和数学素养。
二、数学建模的基本原则
1．简约性原则。生活中的原型都是具有多因素、多变量、多层次的比较复杂的系统，对原型进行一定的简约性即抓住主要矛盾。数学模型应比原型简约，数学模型自身也应是“最简单”的。
2．可推导原则。由数学模型的研究可以推导出一些确定的结果，如果建立的数学模型在数学上是不可推导的，得不到确定的可以应用于原型的结果，这个数学模型就是无意义的。
3．反映性原则。数学模型实际上是人对现实生活的一种反映形式，因此数学模型和现实生活的原型就应有一定的“相似性”，抓住与原型相似的数学表达式或数学理论就是建立数学模型的关键性技巧。
三、数学建模的一般步骤
数学课程标准向学生提供了现实、有趣、富有挑战性的学习内容，这些内容的呈现以“问题情景——建立模型——解释应用——拓展反思”的基本形式展开，这也正是建立数学模型的一般步骤。
1．问题情境。将现实生活中的问题引进课堂，根据问题的特征和目的，对问题进行化简，并用精确的数学语言加以描述。
2．建立模型。在假设的基础上利用适当的数学工具、数学知识，来刻划事物之间的数量关系或内部关系，建立其相应的数学结构。
3．解释应用。对模型求解，并将求解结果与实际情况相比较，以此来验证模型的科学性。
4．拓展反思。将求得的数学模型运用到实际生活中，使原本复杂的问题得以简化。
四、数学建模的常见类型
1．数学概念型，如时、分、秒等数学概念。
2．数学公式型，如推导和应用有关周长、面积、体积、速度、单价的计算公式等。
3．数学定律型，如归纳和应用加法、乘法的运算定律等。
4．数学法则型，如总结和应用加法、减法、乘法、除法的计算法则等。
5．数学性质型，如探讨和应用减法、除法的运算性质等。
6．数学方法型，如小结和应用解决问题的方法“审题分析——列式计算——检验写答”等。
7．数学规律型，如探寻和应用一列数或者一组图形的排列规律等。
五、数学建模的常用方法
1．经验建模法。学生的生活经验是学习数学最宝贵的资源之一，也是学生建立数学模型的重要方法之一。例如，教学人教版课程标准实验教科书数学一年级上、下册中的“时、分”的认识时，由于学生在生活中已经多次、反复接触过钟表等记时工具，看到或听说过记时工具上的时刻，因此，他们对“时、分”的概念并不陌生，教学是即可充分利用学生这种已有的生活经验，让学生广泛交流，在交流的基础上将生活经验提升为数学概念，从而建立关于“时、分”的数学模型。
2．操作建模法。小学生年龄小，生活阅历少，活动经验也极其有限，教学中即可利用操作活动来丰富学生的经验，从而帮助学生感悟出数学模型。例如，教学人教版课程标准实验教科书数学四年级下册中的“三角形特性”时，教师让学生将各种大小、形状不同的三角形多次推拉，学生发现——不管用力推拉哪个三角形，其形状都不会改变，并由此建立数学模型：“三角形具有稳定性。”
3．画图建模法。几何直观是指利用图形描述和分析数学问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路、预测结果。几何直观不仅在“图形与几何”的学习中发挥着不可替代的作用，而且贯穿在整个数学学习和数学建模过程中。例如，教学人教版课程标准实验教科书数学三年级下册《数学广角》中的“集合问题”时，让学生画出韦恩图，从图中找出重复计算部分，即找到了解决此类问题的关键所在，也建立了解决“集合问题”的数学模型——画韦恩图。
4．观察建模法。观察是学生获得信息的基础，也是学生展开思维的活动方式。如何建立“加法交换律”这一数学模型？教学人教版课程标准实验教科书数学四年级下册的这一内容时，教师引导学生先写出这样一组算式：6＋7＝7＋6、20＋35＝35＋20、300＋600＝600＋300、……，然后让学生认真、有序、多次地观察这组算式，并组合学生广泛交流，学生从中即可感悟到“两个加数交换位置，和不变。”的数学模型。
5．列表建模法。把通过观察、画图、操作、实验等获得的数据列成表格，再对表格中的数据展开分析，也是建立数学模型的重要方式。例如，教学人教版课程标准实验教科书数学四年级下册的“植树问题”时，教师组织学生把不同情况下植树的棵数与段数填入表格中，学生借助表格展开观察和分析，即可建立相应的数学模型——“在一段距离中，两端都植树时，棵数＝段数＋1；两端都不植树时，棵数＝段数－1；一端不植树时，棵数＝段数；在封闭曲线上植树时，棵数＝段数。”。
6．计算建模法。计算是小学数学教学的重要内容，是小学生学习数学的重要基础，是小学生解决问题的重要工具，也是小学生建立数学模型的重要方法。例如，教学人教版课程标准实验教科书数学六年级下册第132～133页的“数学思考”中的例4时，教师就让学生将实验数据记录下来，然后运用数据展开计算，在计算的基础上即可建立数学模型——过n个点连线段条数：1＋2＋3＋4＋……＋(n－1)＝1/2 (n2－n)。其主要过程如下：
过2个点连线段条数：1
过3个点连线段条数：1＋2
过4个点连线段条数：1＋2＋3
过5个点连线段条数：1＋2＋3＋4
……
过n个点连线段条数：1＋2＋3＋4＋……＋(n－1)＝1/2 (n2－n)。
总之，数学建模是高品质和高品位的数学教学，是新世纪数学教育的发展方向，是在小学阶段数学教育中颇具必要性、可行性和有效性的教学内容，不断增强小学生数学建模的意识和技能，已成为广大数学教育工作者不可推卸的神圣责任。
