解析几何综合题型解题策略(3)
∵|→MA|＝|→MB|，∴M点在线段AB的中垂线上.
由已知A(－1,0)，B(1,0)，∴xM＝0，又∵→GM∥→AB，∴yM＝y0，
又→GA＋→GB＋→GC＝→0，∴(－1－x0,y0)＋(1－x0,－y0)＋(x－x0,x－y0)＝(0,0)，
∴x0＝x3，y0＝y3，yM＝y3，
∵|→MB|＝|→MC|，∴(0－1)2＋(y3－0)2＝(0－x)2＋(y3－y)2，
∴x2＋y23＝1(y≠0)，∴顶点C的轨迹方程为x2＋y23＝1(y≠0).
（Ⅱ）设直线l方程为：y＝k(x－3)，E(x1,y1)，F(x2,y2)，
由 y＝k(x－3)x2＋y23＝1，消去y得：(k2＋3)x2－6k2x＋9k2－3＝0…①，
∴x1＋x2＝6k2k2＋3，x1x2＝9k2－3k2＋3，
而→PE·→PF＝|→PE|·|→PF|·cos0°＝|PE|·|PF|＝1＋k2|3－x1|·1＋k2|3－x2|
＝(1＋k2)|9－3(x1＋x2)＋x1x2|＝(1＋k2)|9k2＋27－18k2＋9k2－3k2＋3|＝24(k2＋1)k2＋3＝24－48k2＋3，
由方程①知△＝(6k2)2－4(k2＋3)(9k2－3)＞0，k2＜38，
∵k≠0，∴0＜k2＜38，∴k2＋3∈(3,278)，∴→PE·→PF∈(8,889).
【点评】 本题主要考查向量的坐标运算及几何意义、轨迹的直接求法、不等式的解法，考查"设而不求法"结合二次方程的判别式及韦达定理在解决直线与圆锥曲线位置关系中的应用，同时考查函数与方程的思想、转化的思想以及逻辑推理能力、解题实践能力和数学思想方法应用能力.本题解答有两个关键：(1)对条件中的向量关系的转化；(2)建立→PE·→PF关于直线斜率k的函数.解答本题还有一个易错点：忽视直线与圆锥曲线相交的条件限制，造成所求范围扩大.
题型六 圆锥曲线与数列的交汇
此类试题主要体现为以解析几何中的点的坐标为数列，或某数列为圆锥曲线方程的系数，或以直线与圆及圆锥曲线的弦长构成数列等.解答时一般须根据解析几何的知识确定数列的通项或递推关系，进而利用数列的知识作答.
例6 (2009届渭南市高三教学质量检测)已知双曲线an 1y2－anx2＝an 1an的一个焦点为(0，cn)，一条渐近线方程为y＝2x，其中{an}是以4为首项的正数数列.(Ⅰ)求数列{cn}的通项公式；(Ⅱ)求数列{ncn3}的前n项和Sn.
【分析】 将焦点坐标与双曲线实轴与短轴的关系建立cn与an、an 1的等式，再利用渐近线的斜率与实轴与短轴的可判断数列{an}为等比数列，由此可求得an的表达式，进而求得{cn}的通项公式，由此解决第(Ⅰ)小题；第(Ⅱ)小题利用第(Ⅰ)的结果确定数列{ncn3}的通项公式，根据公式特点选择利用错位相减法求解.
【解】 (Ⅰ)∵双曲线方程y2an－x2an 1＝1的焦点为(0，cn)，∴cn＝an＋an 1，
又∵一条渐近线方程为y＝2x，即anan 1＝2，∴anan 1＝2，又a1＝4，
∴an＝4·2n 1＝2n+1，即cn＝2n+1＋2n＝3·2n.
(Ⅱ)∵ncn3＝n·2n，∴Sn＝1·2＋2·22＋3·23＋…＋n·2n ①
2Sn＝1·22＋2·23＋3·24＋ … ＋(n－1)·2n＋n·2n+1 ②
由①－② 得 －Sn＝2＋22＋…＋2n－n·2n+1，
∴S＝－2(1－2 n)1－2＋n·2 n+1＝2－2 n+1＋n·2 n+1.
【点评】 本题主要考查双曲线的几何性质、等比数列的定义和通项公式及利用错位相减法，同时考查转化思想及解答综合处理交汇试题的能力.本题是一道与数列相结合的一道综合题，但难度并不大.解答本题注意两点基本知识及方法的应用：（2）通过双曲线的焦点坐标与渐近线方程建立等式；（2）利用错位相减法求解求和.
