解析几何综合题型解题策略
【典例分析】
题型一 直线与圆的位置关系
此类题型主要考查:(1)判断直线与圆的三种位置关系是:相离、相切、相交;(2)运用三种位置关系求参数的值或取值范围;(3)直线与圆相交时,求解弦长、弦的中点问题及轨迹问题.
【例1】 若直线3x+4y+m=0=0与圆x2+y2-2x+4y+4=0没有公共点,则实数m的取值范围是_____________.
【分析】 利用点到直线的距离来解决.
【解】 圆心为(1,-2),要没有公共点,根据圆心到直线的距离大于半径,得
d=|3×1+2×(-4)+m|32+42>r=1,即|m-5|>5,m∈(-∞,0)∪(10,+∞).
【点评】 解答此类题型的思路有:①判别式法(即方程法),②平面几何法(运用d与r的关系),③数形结合法.由于圆的特殊性(既是中心对称图形又是轴对称),因此解答直线与圆的位置关系时一般不利用判别式法,而利用平面几何法求解,即利用半径r、圆心到直线的距离d的求解.
题型二 圆锥曲线间相互依存
抛物线与椭圆、双曲线的依存关系表现为有相同的焦点、准线重合、准线过焦点等形式,只要对三种圆锥曲线的概念与性质掌握得好,处理这类问题的困难不大.
【例2】 (2009届大同市高三学情调研测试)设双曲线以椭圆x225+y29=1长轴的两个端点为焦点,其准线过椭圆的焦点,则双曲线的渐近线的斜率为 ( )
A.±2 B.±43 C.±34 D.±12
【分析】 根据椭圆的两个端点坐标确定双曲线的焦点坐标,再根据椭圆的焦点得到双曲线的准线方程,由此得到关于双曲线关于a、c的值,进而得到b的值,再进一步求得渐近线的斜率.
【解】 由椭圆方程知双曲线的焦点为(5,0),即c=5,又同椭圆的焦点得a2c=4,所以a=25,则b=c2-a2=5,故双曲线渐近线的斜率为±ba=±12,故选D.
【点评】 本题主要考查椭圆与双曲线的标准方程、几何性质及相关几何量之间的相互关系.本题主要体现为有相同的焦点、准线重合、准线过焦点等形式的圆锥曲线间交汇,解答时主要根据这两种曲线的相同点建立关于基本量a、b、c、p之间的方程,再通过解方程求出相关基本量值,进而求取相关的问题.
题型三 直线与圆锥曲线的位置关系
直线与圆锥曲线的位置关系主要考查三种题型:一是判断已知直线与已知曲线的位置关系;二是根据直线与圆锥曲线的位置关系,求直线或曲线方程的参数问题;三是求直线与圆锥曲线相交时所得弦长、弦的中点及轨迹问题等.解答此类题型的一般方法化为二次方程,利用判别式与韦达定理来求解.
【例3】 (2009届东城区高中示范校高三质量检测题)已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0),实轴长为23.(Ⅰ)求双曲线C的方程;(Ⅱ)若直线l:y=kx+2与双曲线C左支交于A、B两点,求k的取值范围;(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,线段AB的垂直平分线l0与y轴交于M(0,b),求b的取值范围.
【分析】 第(1)小题利用直接法求解;第(Ⅱ)小题将直线与双曲线方程联立消去y,然后利用判别式及韦达定理求解;第(Ⅲ)小题须利用"垂直"与"平分"联系两条直线斜率间的关系及中点坐标公式建立b关于斜率k的表达式,结合第(Ⅱ)小题k的范围求解.
【解】 (Ⅰ)设双曲线方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),
由已知,得a=3,c=2,b2=c2-a2=1,故双曲线方程为x23-y2=1.
(Ⅱ)设A(xA,yA),B(xB,yB ),将y=kx+2代入x23-y2=1,得(1-3k2)x2-62kx-9=0.
由题意知 1-3k2≠0△=36(1-k2)>0xA+xB=62k1-3k2<0xAxB=-91-3k2>0,解得,33<k<1.