三角函数复习教案(4)
例2.在三角形ABC中，已知 ，试判断该三角形的形状．
解法一：(边化角)由已知得： ，
化简得 ，
由正弦定理得： ，即 ，
又 ， ， ．
又 ， 或 ，即该三角形为等腰三角形或直角三角形．
解法二：(角化边)同解法一得： ，
由正余弦定理得： ，
整理得： ，即 或 ，
即该三角形为等腰三角形或直角三角形．
点评：判断三角形形状主要正弦或余弦定理边角互化，从而角或边判定三角形形状．
例3.如图，D是直角△ABC斜边BC上一点，AB=AD，记∠CAD= ，∠ABC= .
（1）证明： ；
（2）若AC= DC，求 ．
分析：识别图中角之间的关系，从而等量关系.
（1）证明： ， ， ，
（2）解： AC= DC， .
， ， .
点评：本题是从图中寻找到角之间的等量关系，从而三角函数关系，进而求出 的值.
【反馈演练】
1．在 中， 则BC =_____________．
2． 的内角∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，且 ，则 _____．
3．在 中，若 ， ，则 的形状是____等边___三角形．
4．若 的内角 ，则 = ．
5．在 中，已知 ， ， ．
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）求 的值．
解：（Ⅰ）在 中， ，由正弦定理，
． ．
（Ⅱ） ，角 为钝角，从而角 为锐角，于是
，
，
．
．
6．在 中，已知内角 ，边 ．设内角 ，周长为 ．
（1）求函数 的解析式和定义域；（2）求 的最大值．
解：（1） 的内角和 ，由 得 ．
应用正弦定理，知 ，
． ，
，
（2）
，
，当 ，即 时， 最大值 ．
7．在 中， ， ．
（Ⅰ）求角 的大小；（Ⅱ）若 最大边的边长为 ，求最小边的边长．
解：（Ⅰ） ， ．
又 ， ．
（Ⅱ） ， 边最大，即 ．
又 ， 角 最小， 边为最小边．
由 且 ，
得 ．由 得： ．
，最小边 ．
第9课 解三角形的应用
【考点导读】
1.运用正余弦定理等知识与方法解决与测量和几何计算的问题．
2.综合运用三角函数知识和方法解决问题，深化对三角公式和基础知识的理解，三角变换的能力．
【基础练习】
1．在200 高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°，60°，则塔高为_________ ．
2．某人朝正东方向走x km后，向右转150°，然后朝新方向走3km，结果他离点恰好 km，那么x的值为_______________ km．
3．一船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到灯塔B在北偏东 ，行驶4h后，船到达C处，看到灯塔在北偏东 ，这时船与灯塔的距离为 km．
4．如图，我炮兵阵地位于A处，两观察所分别设于B，D，已知 为边长等于 的正三角形，当于C时，测得 ， ，求炮击的距离
解：在 中，由正弦定理得：
∴
在 中，由余弦定理得：
∴
答：线段 的长为 ．
【范例解析】
例 .如图，甲船以每小时 海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于 处时，乙船位于甲船的北偏西 方向的 处，此时两船相距 海里，当甲船航行 分钟到达 处时，乙船航行到甲船的北偏西 方向的 处，此时两船相距 海里，问乙船每小时航行多少海里？
