教学内容：人教版义务教育课程标准实验教科书《数学》九年级上册第14页—15页例1，二次根式的加减。
教学目标
1.知识与技能：理解最简二次根式的概念，掌握二次根式加减的方法，培养学生的运算能力。
2.过程与方法：经历整式加减运算与二次根式加减运算的比较体会类比思想，探究二次根式加减的方法，培养学生观察、探索、归纳的能力。
3.情感、态度与价值观：通过类比学习，培养学生分析问题解决问题的能力和团队合作精神。
评析：本节教材首先通过一个实际问题引出二次根式的加减运算，使学生感到研究二次根式的加减运算是实际的需要（解决学什么？）。然后采用先求和、化简，再估算大小引出二次根式的加减运算方法（解决怎样学？），其运算基础是先把二次根式化成最简二次根式，运算方法类似整式加减法，即将被开方数相同的二次根式进行合并，合并的依据是分配律。从执教教师制定的教学目标叙述上看，在知识与技能的目标中“理解最简二次根式的概念”定位不
准确，最简二次根式是前几课所学的主要概念，在本节课只是一个巩固的过程。情感、态度与价值观目标中的“培养学生分析问题解决问题的能力和团队合作精神”放之四海而皆准，作为课时教学目标就不够准确了。这里实际上是将“三维目标”表现为一个平面内的三类目标，没有针对性，多无现实可能。从课程标准的理念出发，知识与技能，过程与方法，情感、态度与价值观是一个目标体系中的三个维度，知识与技能属于“是什么”的维度，过程与方法是关于“如何获得什么”的维度，情感、态度与价值观是在“如何获得什么”的过程中或之后内化为学生相对稳定的东西。建议本节课的教学目标修定如下：
1.使90%以上的学生会进行二次根式加减运算；
2.学生能够把在具体情境中经历经历整式加减运算与二次根式加减运算的比较，探究二次根式加减的方法的过程表达出来，当堂达标率约为90%；
3.通过类比学习，学生能够指出二次根式的加减运算与整式加减运的联系和区别。发展学生的抽象概括能力和体会类比数学思想”，养成善于思考、认真细致、一丝不苟的科学精神”。
教学重点：二次根式的加减运算。
教学难点：探索二次根式加减运算的方法和准确地进行二次根式加减运算。
教学过程实录与评析：
教学活动一：复习引入
师：满足什么条件的根式是最简二次根式？
生1：被开方数不含分母；
生2：被开方数不含开得尽方的因数或因式。
师：（多媒体展示）化简下列二次根式
⑴
⑵
⑶
⑷
⑸
⑹
生：独立练习。师：讲评：略。
师：提出问题：化简后的二次根式有什么特点？
生：⑴、⑵、⑹小题都含有
，⑶、⑷、⑸小题都含有
。
师引入新课并板书课题：二次根式的加减
评析：教学活动一，是复习、巩固最简二次根式的概念和二次根式的化简，为本课学习二次根式的加减运算作准备。但作为这节课的起始部分，这样的引入离开了本课的主题——学习二次根式的加减的现实意义，使教学成为无源之水，无本之木。建议利用课本中的例子：“问题：现有一块长7.5dm、宽5 dm的木板，能否采用如图所示的方式，在这块木板上截出两个面积分别是8 dm
2和18 dm
2的正方形木板？”在解决此问题的过程中得出
，让学生感受学习二次根式加减运算的必要性和意义。通过分析
的计算过程并向学生传递这样一个信息：二次根式的加减运算并不是孤立的全新的知识，而与二次根式的化简
密切相关，此时再与活动一结合就好了。教学研究表明，一个好的有意义的例子胜过一千次说教，因为有意义的东西更能使人自觉地去学习，唤起学生对已有知识的回忆，创设认知心理的最近发展区，达到最佳的学习效益。
教学活动二：探索新知
师（媒体展示）
1.合并同类项：
⑴
； ⑵
；
⑶
； ⑷
= 。
生：独立练习。
师巡视、指导学生练习与学生进行交流。
师：上面题目的计算，实际上是我们以前所学的同类项合并，也就是说只有同一特征的事物我们才能进行合并。如3头牛 + 5头牛=8头牛。如果是3头牛+五只羊我们就无法相加了。
评析：此时执教教师的意图是复习、巩固合并同类项的方法，用来类比学习二次根式的加减运算。但用“只有同一特征的事物”来理解同类项是不准确的，代数中的同类项的本质特征是： “所含字母相同，并且相同字母指数也相同”。用“3头牛 + 5头牛户=8头牛”来说明合并同类项的方法失去了数学意义。合并同类项的方法是“字母部分不变”，即字母不变，字母的指数不变；“系数相加减”。
2.请同学们用类似合并同类项的方法计算下列各题，并说说计算过程有什么规律？
⑴
⑵
⑶
⑷
生分组尝试练习。
师巡视课堂，并及时纠正学生练习中出现的问题。
师提示：在⑴、⑵小题中，如果我们把
、
看成字母
、
，不就转化为前面合并同类项的问题吗？⑶、⑷小题又该怎样运算呢？请同学们互相讨论，给出合理的运算过程，好吗？
注：笔者在观课时发现，此时，有学生还没有想到将
化简为
（最简二次根式），还有的学生直接得出
。⑶、⑷小题实际上多数学生没有完成。
师再一次提示：
，
生：因
与
不是同类项，不能相加（有的说成不能合并）。
师提问：
，
生：有的答
，有的答不能相加。
师：为什么
与
不能相加？
生：因为它们不是同类项。
师此时显得有点无奈，自圆其说：
与
的被开方数不同，不能合并。
师边板书边归纳：
⑴
⑵
⑴和⑵都是将被开方数相同的二次根式进行合并。
⑶
⑷
⑶和⑷先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。从而归纳得出二次根加减运算的方法是：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。
评析：活动二的设置，目的是让学生经历类比合并同类项的方法去探究、归纳、概括二次根式加减运算方法。但在学生分组尝试练习之前并不知道尝试练习的实际意义，处于被动学习状态，在这4个小题中，如果说第⑴、⑵小题学生能机械摸仿，第⑶、⑷小题使学生一下从摸仿转移二次根式的化简，显得本末倒置。教师对学生在答题时出现
无奈，没有从最简二次根式中的被开方数是否相同这一特征入手进行引导，使课堂教学的生成效果失真。事实上，此时如按执教教师的思路，再一次进行理性的类比，问题还是可以解决的。如计算
，可以先把
看成
，则
转化为
，由合并同类项的知识得
，再通过类比同类项的运算方法可得
，此时需要学生
明白的是被开方数相同的两个最简二次根式能够按合并同类项的方法进行加减运算。当学生尝试计算
时，可先提出问题：
与
是不是最简二次根式？如果不是，化成最简二次根式。这样就自然地把
转化为
，这样既使问题得到解决，又使学生感受到在进行二次根式的加减时如果不是最简二次根式的要先化成最简二次根式。从而使学生应用类比的思想归纳出二次根式加减的运算方法：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。
教学活动三：巩固新知
例：计算⑴
⑵
师分析：⑴中的各个二次根式都不是最简二次根式，那么我们应该先化简，再找被开方数相同的最简二次根式，最后进行合并。
师生共同完成第⑴小题。
师板书：⑴
解：⑴
（化成最简二次根式）
（分配律）
师强调：这与合并同类项的方法关似。
师指定学生板书完成⑵小题。
生板书：⑵
解原式
师讲评：解⑵小题的第一步实际上有两步，一是去括号，二是将不是最简二次根式的化成最简二次根式；第二步是将被开方数相同的最简二次根式合并。
评析：教师的意图是通过例题的教学，使学生加深对所学知识的理解，进一步巩固二次根式加减法运算。但是这组例题的设置没有遵循循序渐进的原则，步子大了一些。建议先出示一些简单的运算或判断题，让学生巩固已经基本感知二次根式的加减运算的方法后再教学例题较好。因为例题教学的目标是使学生掌握二次根式加减法的运算方法，综合运用新旧知识，使知识能融会贯通，从而提高了课堂生成效率，并在例题教学中培养学生及时发现问题并解决问题的策略，激发学生的学习兴趣和强烈的求知欲望。
师结合例题的解题思路引导学生总结二次根式的加减运算的步骤是：一化简、二寻找、三合并
评析：这一二次根式加减运算的解题方法与步骤的提练，教师如果能设计一个引导学生去发现，自己提练的过程，相信学生会对二次根式的加减法终生不忘。如设计为：通过学生作几道练习题（具有代表性），提出如下问题：你认为在进行二次根式的加减时，首先要做哪项工作？再完成哪项工作？最后完成哪项工作？你能用最精练的语言提练这一过程吗？
教学活动四：反馈练习
练习：教材第16页练习题1、2题（指定学生黑板上演示）
练习题1采用师生问答式的方式完成。
生独立做练习题2。有四个学生上讲台板书练习过程。
学生板书实录：
2.⑵
2.⑷
解：原式
解：原式
师遂题讲评。
在⑵小题的解答过程中，学生在化简
时，用了三步来完成，如
。
师指出：这样计算繁了，要简化一些。
评析：对基础较差的学生来说应值得
肯定，同学们在练习时这样一步一步的做，会减少出错，而教师一句话“要简化一些”在某种意义上说对学生的学习的一种否定，打击了学生的学习积极性。
在讲评第⑷小题时，由于学生的解答出现
这一错误，师强调在去括号时要注意性质符号和运算符号的区别，
特别是括号前面是“-”号时，指出练习中的
这一过程就是错在符号运算上，并作了校正。
评析：为学生提供实际演练的机会，加强对已学知识的复习并检查对新知识的掌握情况，检验了本节课教学的的知识目标达成度，起到及时反馈学生学习情况的作用。但是，在学生口答教材第16页练习1题时，还有部分学生对：
、
为什么不对，没有在道理上弄清楚，只是顺着其他同学作答，知其然不知其所以然。教师也没有再次强调在二次根式加减运算时必须是被开方数相同的最简二次根式才能加减这一本节核心知识，只是随便过渡，而因学生的课堂练习达标率不高。为此，教师将主要精力和时间都花在第2大题的讲评上，学生没有再次课堂练习的机会。
教学活动五：小结作业
师问：本节课同学们学了什么运算？
生答：二次根式加减法运算。
师问：二次根式加减法的运算方法和步骤是什么?
生答：⑴把每个根式化为最简二次根式，⑵把其中被开方数相同的最简二次根式合并。
作业：教材第17、18页习题第2、3题。
评析：通过归纳总结，课外作业，使学生优化概念，内化知识。
综述： 从教学过程看，教师试图将师
生活动融于五个教学活动之中，使学生在活动中达到本节教学目标要求，掌握研究数学问题的一般方法，在解决数学问题过程中掌握研究数学问题的一般方法并获得的体验和经历，逐渐增强后继学习中理解力。但在实际的教学过程中教师的教和学生的学有一些不尽人意的地方，主要表现在：教师对本课数学知识本质的理解还欠火候。理解教材是上好课的前提，根据教师的教学设计和上述教学过程分析，教师对为什么要学习二次根式的加减运算，怎样探索学习二次根式的加减运算的方法，怎样进行二次根式的加减运算的知识体系不明，没有从现实世界出发，依据学生现有的知识经验提出类似课本中的情境性问题，引导学生独立地获得数学知识，然后进一步巩固所学知识，形成本节课的核心知识体系。而是一开始就以简单的复习最简二次根式和二次根式的化简入手，使学生在不明不白的状态中探索二次根式的加减运算方法，使教学失去解决有意义的现实问题的条件支撑，特别是在探索二次根式加减运算的方法的过程中当学生没有按教师的预设思路去进行时，教师对教学活动的组织更是显得力不从心，不是想办法有效的应对，而是直接给出结果，让学生从事一些简单的摸仿运算，使教学生成效果失真。
