为了说明方便，假定除数D和被除数N都是正的。这里介绍的方法基本意思就是找出一个规律，使我们对任意的正整数DN,都能找到一个比N小的R,满足D/R。aD/N。这个规律是这样的：“D,N都是正整数；N=10a十b(10>b>O,a,b,都是正整数)则我们一定能找到二个只和D有关的整数T,使D/K = a+Tbv+D/N"(以便把T叫D的“判别数”)。这里先看一个例子。

例1 29能不能除尽899?对29取判别数T二3,899=1089+9，故a二89,b二9。故R=a+76二89+27=116。29能除尽116吗?再化简一次116二10。11+6，故a，11,b=6滔而R- a十7b二。11+18二29。29是能除尽29的。从而能除尽116，也能除尽899。

我们要证明一下，对D二29取判别数T二3,是对任意被除数N都是成立的。下面证明，对任一除数D，若可以找出判别教T,(封把D可以表示成(10n+ 1),n为正整数，取T=-n,则对任愈被除数N二I Oa + b , D/R = a + Tbe+D/N证明：R=a一nb=a-n(N-l0a)二a+lOna-nN=a(1On+1)一，N=aD-nN。因为D=10n+1所以，D和二互素，上面等式指出D能除尽R时，D就能除尽。N，因而能除尽N，所以，D能除尽N,D就能除尽R。当D可表为IN+3时，

取T=3n+1，则对任意的被除数N=lOa+b有D/R = a+76eaD/N。证明：R=a+(3n+1)b=a+(3n+1)(N-10a)=N(3n+I)一30na一9a=N(3n+1)一3a(10n+3)=N(3n+1)一3aD。上面的等式指出，若D除尽R则D能除尽N(3n+ 1)，但是，因为D=1On+3=3(3n+1)+n，而N和3n十1互素，故D和3n+1也互素，所以，D就能除尽N了。若D能除尽N，则等式直接说明，D除尽R的。

例2 41能否除尽3731?41=4。10+1-n=41是10n+1形式，因为，T=-n=-4,R=373+1,(一4)=361,对369再用上述运算,R=36+(一4),9=0所以，41能除尽3731。下面我们果用比较简单算法：N= 3731,D二41时，当D中有形式为2'5'，不再包含2及5的因子时(k、s是自然数),我们可以把D是否能除尽N简化为2'5，能否除尽N及D/2'5能否除尽，这个因子判别法便众所周知了。

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