2013年高考数学试题(理科)(4)
又,∴有最大值（当且仅当时取等号），
所以的最大值为.-------------------------------------------------------------------------------12分
18. （本题小满分12分）
正的边长为4，CD是AB边上的高，E、F分别是AC和BC的中点（如图（1））.现将沿CD翻折成直二面角A-DC-B（如图（2））.
在图形（2）中：
（Ⅰ）试判断直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；
（Ⅱ）求二面角E-DF-C的余弦值；
（Ⅲ）在线段BC上是否存在一点P，使?证明你的结论.
解法一：
（Ⅰ）如图（2）：在中，由EF分别是AC、BC的中点，得EF//AB，又平面DEF，平面DEF.
∴平面DEF.-----------------------------------------------------------------------3分
（Ⅱ），∴是二面角A-CD-B的平面角.
-------------------------------------------------------------------------------------4分
∴，∴平面BCD.取CD的中点M，则EM//AD，∴EM⊥平面BCD.过M作MN⊥DF于点N，连结EN，则EN⊥DF，是二面角E-DF-C的平面角.----------------------------------------------------6分
在中，EM=1，MN=，∴.----------------------------------8分
（Ⅲ）在线段BC上取点P，使BP=，过P作PQ⊥CD于点Q，∴平面ACD.-----------------11分
∵∴中，.在等边中，
∴.------------------------------------------------------12分
解法二：
（Ⅱ）以点D为坐标原点，以直线DB、DC、DA分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则------------------------------------------4分
平面CDF的法向量.设平面EDF的法向量为 =（x,y,z）.
则，即，取------------------------------------------6分
.二面角E-DF-C的平面角的余弦值为.------------------------------------8分
（Ⅲ）在平面坐标系中，直线BC的方程为，设，则.--------------------------------------------------------------------------------------------------------10分
∵.
∴在线段BC上存在点P，使AP⊥DE.---------------------------------------------------------------12分.
19. （本题小满分12分）
